理论：采样定理和奈奎斯特频率

Question

我遇到了采样定理的问题。

采样定理指出，如果原始信号没有超过采样频率一半的频率，则可以从其样本精确地重建信号。

但是对于恰好是采样频率一半的频率怎么办？假设我用恰好是正弦频率两倍的频率对正弦进行采样（具有任意相位和振幅），那么我将无法重建正弦的相位和振幅，因为我不知道相位如何与我的采样相关联（例如，如果我恰好在正弦的零点上进行采样，则我的样本将全部为零）。

这个问题的解决方案是什么？

- genesys

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这是一个与编程有关的问题。实际上，只有在编程的情况下才有任何意义。请不要仅因为您自己不理解而投票关闭问题。编程是一个比那更大的领域。 - RBarryYoung

关闭此问题的人显然从未进行过任何DSP或信号处理软件。抱歉，这不是关于Web、数据库或酷炫语言特性的问题，但它绝对是编程方面的内容。 - phkahler

@GregS - FAQ中说，问题“应该是关于编程的。你知道，用电脑。”所以DSP中的D到底意味着什么？还是你手动进行二进制计算？这个问题对SO来说比那些关于球体碰撞和基本三角函数的问题更有价值，而这些问题在这里总是得到回答，因此规则似乎真的是“只允许关于数学的琐碎问题”。 - tom10

我在这里回复你的论点，因为你是在这里提出的，这似乎是正确的地方，因为这是关于是否应该关闭这个问题的讨论。如果你愿意，可以去元社区继续讨论，但请不要告诉我去。 - tom10

这个问题应该在哪里提问？ - Isaac

Answer 1

请查看：http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist_rate#Nyquist_rate_relative_to_sampling 文中明确指出，采样率应该超过奈奎斯特率（Nyquist rate），而奈奎斯特率是最高频率成分的两倍。

- Ahmed Abdelkader

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并超过它一个很大的差距 - pavium

采样定理只规定了采样率应该超过奈奎斯特频率，而没有要求有很大的余量。当然，使用更高的采样率可以获得更好的图像重建效果，但采样定理的目的是避免混叠现象，即如果采样率超过奈奎斯特频率就会发生混叠现象。 - martiert

@martiert，更好的重建？如果你以超过信号所包含的最大频率两倍以上的采样率进行采样，你可以从这些采样中完全重建信号...再也没有比这更好的了：）。 - vicatcu

@vicatcu 不，你无法完全重建它。甚至不能接近。你所能做的就是避免别名。 - phkahler

@phkahler - 不，vicatcu（和其他人）是正确的。Nyquist的重点在于，如果您对Nyquist速率进行采样，则可以完全重构信号。只需谷歌一下并阅读定理即可（它可能不会说“完全”重构，因为重构意味着完全重构）。 - tom10

只是想澄清一下：http://en.wikipedia.org/wiki/File:CriticalFrequencyAliasing.svg 这是在奈奎斯特率下，那么你如何重建“正确的”呢？ - phkahler

Answer 2

如何呢：

这个充分条件可以被削弱，正如下面对非基带信号的采样所讨论的那样。

最近的定理陈述有时会小心地排除等式条件；也就是说，条件是如果 x(t) 不包含高于或等于 B 的频率，则该条件等价于 Shannon 的条件，除非该函数恰好包括一个恒定频率为 B 的正弦成分。

- Dieter