如何根据比特数计算小数位精度？

Question

我正在学习浮点数格式（IEEE）。 在单精度浮点数格式中，书中提到尾数有24位，因此具有6.5个十进制数字的精度，并且7.22个十进制数字的精度。 我不明白如何计算小数位的精度。 有人能为我解释一下吗？

- Yogi

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请参考Is the most significant decimal digits precision that can be converted to binary and back to decimal without loss of significance 6 or 7.225?获取答案的详细解释和实例。 - legends2k

Answer 1

使用24位，假设有1位为符号位，则可以表示的最大十进制数为2^23-1=8388607。也就是说，您可以得到6个数字和有时的第7个数字。这通常被表示为“6 1/2 位数”。如果24位代表无符号数字，则可以存储的最大值为2^24-1=16,777,215，或者7个多一点的数字。

当有人引用带有显式小数位的数字，比如7.22个小数位时，他们所做的是取最大值的对数（以10为底）。因此，log（16777115）= 7.22。

一般来说，从给定位数得到的十进制数字的数量为：

d=log[base 10](2^b)

其中b是位数，d是十进制数字的数量，则：

d=b * log(2)
d~=b * .3010

因此，24位为24 * .3010 = 7.224。

- Jay

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我只是想补充一下，关于符号位的观点是无效的。尾数是24位，而符号位不是尾数的一部分。事实上，如果你查看位，它应该是[符号位、指数、尾数]。请参见标准在这里。符号位始终作为IEEE 754标准的一部分存在，因此数字总是有符号的。总之，所有的24位都用来表示尾数，所以如问题中所述，log10=7.22。 - Westy92

@westy92 我在谈论整数。是的，对于浮点数，一些位被分配给指数。这个数量影响我们可以记录的数字范围，但不影响精度位数。对于那些不知道的人，分配给实际数字的比特，而不是指数或符号的比特称为“尾数”，这对我们在这里的目的很重要。 - Jay

@westy92 噢，回想起来我发现问题特别问到 IEEE 浮点数。所以是的，符号位没有包括在 24 位中。 - Jay

@Jay 尽管使用24位可以获得7.22个十进制数字的精度（24 * log₁₀ 2），但十进制数字的正确精度仅为6½。请参见下面问题的注释以获取正确答案的重复内容。 - legends2k

@Jay同意，我已经从问题中删除了评论。感谢您的澄清，否则我仍然会困惑于轮换和精度之间的区别！ - legends2k