IEEE浮点数转换为精确的十进制字符字符串。

Question

IEEE浮点数转换为精确的十进制字符字符串。

c++cfloating-pointprecision

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printf('%.9e', value)会打印出IEEE单精度浮点数（C/C++ float）的确切十进制表示吗？

同样地，如果value是IEEE双精度浮点数（C/C++ double），那么printf('%.17e', value)是否也如此呢？

如果不是，我该如何做到？

看起来printf('%.17f', value)和printf('%.17g', value)均不会。

- Patrick

1

我认为每个二进制数都可以准确地表示为十进制数，所以我两者都认同。我知道并非每个十进制数都可以准确地表示为二进制数，但我不关心这一点。我假设该数字已经存在于浮点数或双精度浮点数中作为二进制数。我实际上不确定如何举例说明。 - Patrick

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一个IEEE754单精度浮点数具有23位精度，而10只有一个二的幂因子，因此我认为可能会找到一个单精度浮点数，需要23个有效十进制数字才能准确表示。 - EOF

1

必读资料：计算机科学家应该了解的浮点数知识。 - Thomas Matthews

1

@OliverCharlesworth：它解释了任何值的精确十进制表示是如何被解释的，强调精确。 - Thomas Matthews

1

以数字1.0/3.0为例。打印9位小数比打印17位更准确吗？ - Thomas Matthews

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2个回答

2

IEEE-754格式适用于32位浮点数，详见维基百科。

下表显示了每个比特的权重，假设指数为0，即
1.0 <= N < 2.0。表中最后一个数字是小于2.0的最大数字。

从表中可以看出，要得到32位浮点数的精确十进制数，需要至少打印小数点后23位。

3f800000 1.0000000000000000000000000   (1)
3fc00000 1.5000000000000000000000000   (1 + 2^-1)
3fa00000 1.2500000000000000000000000   (1 + 2^-2)
3f900000 1.1250000000000000000000000   (1 + 2^-3)
3f880000 1.0625000000000000000000000   (1 + 2^-4)
3f840000 1.0312500000000000000000000   (1 + 2^-5)
3f820000 1.0156250000000000000000000   (1 + 2^-6)
3f810000 1.0078125000000000000000000   (1 + 2^-7)
3f808000 1.0039062500000000000000000   (1 + 2^-8)
3f804000 1.0019531250000000000000000   (1 + 2^-9)
3f802000 1.0009765625000000000000000   (1 + 2^-10)
3f801000 1.0004882812500000000000000   (1 + 2^-11)
3f800800 1.0002441406250000000000000   (1 + 2^-12)
3f800400 1.0001220703125000000000000   (1 + 2^-13)
3f800200 1.0000610351562500000000000   (1 + 2^-14)
3f800100 1.0000305175781250000000000   (1 + 2^-15)
3f800080 1.0000152587890625000000000   (1 + 2^-16)
3f800040 1.0000076293945312500000000   (1 + 2^-17)
3f800020 1.0000038146972656250000000   (1 + 2^-18)
3f800010 1.0000019073486328125000000   (1 + 2^-19)
3f800008 1.0000009536743164062500000   (1 + 2^-20)
3f800004 1.0000004768371582031250000   (1 + 2^-21)
3f800002 1.0000002384185791015625000   (1 + 2^-22)
3f800001 1.0000001192092895507812500   (1 + 2^-23)

3fffffff 1.9999998807907104492187500

需要注意的一点是，在1和2之间只有2^23（大约800万）个浮点值。然而，在小数点后有23位数字的情况下，有10^23个数字，因此很少有小数可以精确地表示为浮点数。

举个简单的例子，数字1.1 没有精确的表示方式。最接近1.1的两个32位浮点值是：

3f8ccccc 1.0999999046325683593750000
3f8ccccd 1.1000000238418579101562500

- user3386109

我不担心从十进制到二进制的转换。我注意到在列表中，除了最后一个数字外，在小数点后面没有超过17个非零数字。 - Patrick

我认为混淆的地方在于，例如在单点情况下，给定一个浮点数及其无符号表示（最接近的9个小数位），仅通过改变1个无符号表示就只会改变浮点数的第6个小数位。（例如123.456(123.456001) 最接近的无符号表示是 1123477881。改变1个后，1123477882 会导致浮点数变化到 123.456008911） - David C. Rankin

@Patrick：“小数点后不超过17位非零数字？”是的，但请记住，每个数字在小数部分都只有1个比特设置。表格左侧的数字是该数字的十六进制表示。3f8代表指数为0，其余比特为小数部分。您可以在小数部分中使用任何比特组合。例如，0x3f820001将具有22个非零数字，您可以通过添加以0x3f820000和0x3f800001开头的两行来查看。结果为1.01562511920928955078125。 - user3386109

我猜我被这个陈述搞糊涂了：“如果将IEEE 754单精度转换为至少具有9个有效十进制数字的十进制字符串，然后再转换回单精度，则最终数字必须与原始数字匹配。” - Patrick

2

@Patrick 当你转换为十进制字符串时，你会四舍五入到最接近的具有9个有效数字的小数值。当转换回二进制时，你会四舍五入到最接近的具有23个有效位的二进制数。你引用的声明中的保证是，舍入误差不会导致与开始时不同的值。 - user3386109

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可以查看英文原文，
原文链接

- chux - Reinstate Monica · Accepted Answer

printf('%.9e', value)是否总是打印出精确的十进制表示?

不是。考虑0.5，0.25，0.125，0.0625...每个值都是前一个值的一半，并且需要每个降幂次2的小数位数。

float通常binary32可以表示约为pow(2,-127)的值，而子规范甚至更小。它需要127+个小数位才能准确表示这些值。即使只计算有效数字，该数量也为89+。例如，一台机器上的FLT_MIN是精确地

0.000000000000000000000000000000000000011754943508222875079687365372222456778186655567720875215087517062784172594547271728515625

"

FLT_TRUE_MIN，最小的非零次标准化值为151位数字：

"

0.00000000000000000000000000000000000000000000140129846432481707092372958328991613128026194187651577175706828388979108268586060148663818836212158203125

相比之下，FLT_MAX 只有39位数字。 340282346638528859811704183484516925440 很少需要精确的十进制表示法来表示float。将它们打印到FLT_DECIMAL_DIG（通常为9）个有效数字就足以唯一地显示它们。许多系统不会打印超过几十个有效数字的精确十进制表示法。

我使用过的绝大多数系统都能够确切地打印至少DBL_DIG个有效数字（通常为15+）。大多数系统至少可以打印DBL_DECIMAL_DIG（通常为17+）个有效数字。 Printf width specifier to maintain precision of floating-point value 涉及这些问题。 printf('%.*e', FLT_DECIMAL_DIG - 1, value) 将打印出足够多的小数位，以便可以扫描它并获得相同的值 - （往返）。