优化以找到复数作为输入

Question

我想知道是否有一个C/C++库或Matlab代码技术可以使用最小化求解器来确定实数和复数。下面是一段代码片段，展示了我想要做的事情。例如，假设我知道Utilde，但不知道x和U变量。我想使用优化(fminsearch)来确定给定Utilde的x和U。注意Utilde是一个复数。

x = 1.5;
U = 50 + 1i*25;
x0 = [1 20];  % starting values
Utilde = U * (1 / exp(2 * x)) * exp( 1i * 2 * x);
xout = fminsearch(@(v)optim(v, Utilde), x0);

function diff = optim(v, Utilde)
x = v(1);
U = v(2);
diff =  abs( -(Utilde/U) + (1 / exp(2 * x)) * exp( 1i * 2 * x  ) );

上面的代码无法收敛到正确的值，xout = 1.7318 88.8760。但是如果U = 50，那么xout = 1.5000 50.0000，这才是正确的值。

在Matlab或C/C++中是否有一种方式可以确保给定复数Utilde的正确收敛？也许我需要更改上面的代码？

• 如果Matlab没有本地化实现该功能，则问题的要点之一可能是：是否存在能够处理实数和复数输入输出的多元（即Nelder-Mead或类似算法）优化库？
• 另一个问题是函数是否收敛。我不知道是算法还是函数的问题。我需要更改Utilde = U * (1 / exp(2 * x)) * exp( 1i * 2 * x)表达式中的某些内容来使其收敛吗？

- Nicholas Kinar

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根据我的经验：使用这些内置的最小化程序通常会给你带来更多的麻烦，而不是帮助。如果你一定要这样做，我建议你坚持使用Python - 使用MATLAB可能不会更好。 - Michael Schlottke-Lakemper

当然 - 在Python中设置这个优化问题的最佳方法是什么？是否有一个可以使用复数进行优化的Python工具？ - Nicholas Kinar

@NicholasKinar 我现在对于复数的算术规则有些不确定，但是如果你只想要在优化中检索最顶端的 x 和 U 值，那么将 diff 指定为 diff = abs( Utilde - U * (1 / exp(2 * x)) * exp( 1i * 2 * x ) ) 是否更合适呢？或者从微分的角度来看，使用差的平方而不是绝对差更好呢？ - Anders Gustafsson

@AndersGustafsson：感谢您的评论。嗯...我尝试了这个方法，但仍然无法使所有的x和U收敛。例如，当x = 7且U = 10时，仍然存在问题。也许是我做错了什么。 - Nicholas Kinar

@NicholasKinar，我进一步研究了这个问题并提供了一个答案。请看看您是否同意。 - Anders Gustafsson

Answer 1

主要的问题在于这个优化或参数拟合问题没有唯一解。例如，从上面的预期结果和实际结果来看，对于两个（x，U）对，Utilde是等效的（忽略四舍五入的差异）。

Utilde(x = 1.5, U = 50 + 25i) = Utilde(x = 1.7318, U = 88.8760)

虽然我没有深入研究，但我甚至怀疑对于任何x的值，你都可以找到一个U，使得Utilde(x,U)=Utilde(x=1.5,U=50+25i)。

因此，解决方案是进一步限制参数拟合问题，以便求解器产生任何可接受的解决方案。或者，重新定义Utilde，使得任何（x，U）对都有唯一的值。

更新，8月1日

在合理的起始值下，似乎将x限制为实值就足够了。使用上述定义的diff函数执行无约束非线性优化，得到以下结果：

x = 1.50462926953244
U = 50.6977768845879 + 24.7676554234729i
diff = 3.18731710515855E-06

然而，将起始猜测更改为距离所需值更远的值确实会产生不同的解，因此仅将x限制为实值并不能为问题提供唯一的解决方案。

我已经在C#中实现了此功能，使用BOBYQA优化器，但数字应与上述相同。如果您想尝试Matlab之外的方法，则也应该相对简单地将下面的C#代码转换为C++代码，使用std::complex类和您自己选择的（无约束）非线性C++优化器。您可以在此处找到一些不需要梯度计算的 C++ 兼容代码here，Numerical Recipes中也有各种实现可用。例如，您可以在此here在线访问 NR 的C版本。

以下是我的 C# 代码的相关部分，仅供参考：

class Program
{
    private static readonly Complex Coeff = new Complex(-2.0, 2.0);
    private static readonly Complex UTilde0 = GetUTilde(1.5, new Complex(50.0, 25.0));

    static void Main(string[] args)
    {
        double[] vars = new[] {1.0, 25.0, 0.0}; // xstart = 1.0, Ustart = 25.0
        BobyqaExitStatus status = Bobyqa.FindMinimum(GetObjfnValue, vars.Length, vars);
    }

    public static Complex GetUTilde(double x, Complex U)
    {
        return U * Complex.Exp(Coeff * x);
    }

    public static double GetObjfnValue(int n, double[] vars)
    {
        double x = vars[0]; 
        Complex U = new Complex(vars[1], vars[2]);
        return Complex.Abs(-UTilde0 / U + Complex.Exp(Coeff * x));
    }
}

- Anders Gustafsson

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感谢您的深入回答。我该如何重新构造Utilde，使得任何(x, U)对都有唯一的值？ - Nicholas Kinar

@NicholasKinar Utilde 代表什么意思？你能提供一些相关的上下文链接吗？ - Anders Gustafsson

表达式的实部可以在书的第67页找到，作为方程（4.22）和方程（4.20）。此外，“Utilde”表达式在第128页上，作为方程（7.21）。 “U”是一个Gabor变换地震输入跟踪。 - Nicholas Kinar

@NicholasKinar 请查看我对这个答案的鼓励性更新 :-)。 - Anders Gustafsson

谢谢，Anders；非常感谢。感谢您为我提供了一个出色的框架和代码来解决这个问题。我将进一步尝试指数函数参数，然后再回复您。 - Nicholas Kinar

Answer 2

fminsearch的文档在限制部分说明了如何处理复数：

fminsearch仅对实数进行最小化，即x必须只由实数组成，f(x)必须只返回实数。当x具有复杂变量时，它们必须被拆分为实部和虚部。

您可以使用函数real和imag分别提取实部和虚部。请注意保留HTML标签。

- zroth

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实际上，这可能对此处没有帮助，因为您的函数针对实数输入返回复杂输出。不过，如果您的函数是实值的，那么我认为这种方法会起作用。 - zroth

这个问题是关于复数的绝对值，在这种情况下，diff变量始终是实数吗？如果是这样的话，我该如何将其拆分为实部和虚部呢？ - Nicholas Kinar

@NicholasKinar 你说得对。你的函数似乎采用实数输入并具有实值。为什么你说 fminsearch 在复杂的 Utilde 上无法收敛？你是通过解析方法找到最小值的吗？ - zroth

嗯，我不确定这是函数的问题还是其他问题。我会进行调查。 - Nicholas Kinar

Answer 3

看起来没有简单的方法可以做到这一点，即使x和U都是实数。 Utilde的方程对于优化问题来说不是良好定义的，因此必须进行修改。

我尝试编写自己版本的Nelder-Mead优化算法，并尝试了Powell的方法。 即使我尝试修改这些方法，它们在这个问题上也似乎效果不佳。

- Nicholas Kinar