Sympy二阶常微分方程求解

Question

Sympy二阶常微分方程求解

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我有一个简单二阶常微分方程的齐次解，尝试使用 Sympy 求解初始值时，返回相同的解。应该将其代入 y(0) 和 y'(0) 并得到没有常数的解，但实际上并不是这样。以下是建立方程的代码（这是弹簧平衡方程，k=弹簧常数，m=质量）。抱歉使用了一些其他地方也用到的冗余符号。

%matplotlib inline
from sympy import *
m,k, x,t,s,T, omega,A,B = symbols('m k x t s T omega A B',float=True)
a = symbols('a', positive=True)
f,y,g,H,delta,S=symbols('f y g H delta S',cls=Function)
Eq1 = Eq(m*diff(y(t),t,2)+k*y(t))
Eq1

结果是（正确的）： $y{\left (t \right )} = C_{1} e^{- t \sqrt{- \frac{k}{m}}} + C_{2} e^{t \sqrt{- \frac{k}{m}}}$

其中 y(t)=C1e^(−t√(−k/m))+C2e^(t√(−km))，也可以写成y_n = c1.cos(√(−k/m)t)+c2.sin(√(−k/m)t)。

当此方程被解析求解，并转换为使用正弦和余弦函数的解时，其中 omega = sqrt(-k/m)，那么 c1 = y(0)，c2 = y'(0)/omega。因此，尽管该解的一部分涉及复数，但 dsolve 仅返回原始齐次方程如上所述。我计算 ODE 在 y(0) 和 y'(0) 处的代码为：

Eq1_soln_IVP =dsolve(Eq1,y(t),x0=0, ics={y(0): a, y(t).diff(t).subs(t, 0): a})

我理解dsolve可能无法对此IVP进行解析处理，但基于它的其他能力，如果它真的做不到，我会感到惊讶。如果有任何帮助来解决这个问题以及其他解析二阶问题，将不胜感激。问题的核心在于：

ics={y(0): a, y(t).diff(t).subs(t, 0): a}

所以我尝试的解决方案，Dietrich 也确认了，是：

 #Create IVP for y(0)
 expr = Eq(Eq1_soln_IVP.rhs.subs(sqrt(-k/m),I*omega),y(0))
 #Create IVP for y'(0)
 expr2 = Eq(diff(y(t),t).subs(t,0),expr.lhs.diff(t))
 #Maps all free variables and solves for each where t = 0.
 solve([expr.subs(t,0),expr2.subs(t,0)])

虽然这是一种解决方案，但似乎这是一种非常复杂的找到y(t) = y(0)cos(omega*t - phi)的方法......这回答了关于此求解器某些限制的隐含问题以及有关如何解决ics arg的直接问题。谢谢。

- Time Lord

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- Dietrich · Accepted Answer

在dsolve()的参数ics并不能正常工作(Issue 4720)，因此您需要手动进行替换。您可以尝试：

from IPython.display import display
import sympy as sy

sy.init_printing()  # LaTeX-like pretty printing for IPython

t = sy.Symbol("t", real=True)
m, k = sy.symbols('m k', real=True)  # gives C_1 Exp() + C_2 Exp() solution
# m, k = sy.symbols('m k', positive=True)  # gives C_1 sin() + C_2 cos() sol.
a0, b0 = sy.symbols('a0, b0', real=True)
y = sy.Function('y')

Eq1 = sy.Eq(m*sy.diff(y(t), t, 2) + k*y(t))
print("ODE:")
display(Eq1)

print("Generic solution:")
y_sl0 = sy.dsolve(Eq1, y(t)).rhs  # take only right hand side
display(sy.Eq(y(t), y_sl0))

# Initial conditions:
cnd0 = sy.Eq(y_sl0.subs(t, 0), a0)  # y(0) = a0
cnd1 = sy.Eq(y_sl0.diff(t).subs(t, 0), b0)  # y'(0) = b0

#  Solve for C1, C2:
C1, C2 = sy.symbols("C1, C2")  # generic constants
C1C2_sl = sy.solve([cnd0, cnd1], (C1, C2))

# Substitute back into solution:
y_sl1 = sy.simplify(y_sl0.subs(C1C2_sl))
print("Solution with initial conditions:")
display(sy.Eq(y(t), y_sl1))