从二进制转换为十进制是否存在限制？（就像从十进制转换为二进制时一样存在限制吗？）

Question

从二进制转换为十进制是否存在限制？（就像从十进制转换为二进制时一样存在限制吗？）

mathlanguage-agnosticfloating-point

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众所周知，并非所有十进制小数都能用二进制表示（有限位数）。

我想知道，是否所有（有限的）二进制数都能用（有限的）十进制位数表示？我怀疑是这样的，因为二进制中的所有“基本元素”（“0.5”，“0.125”等）都可以用有限的十进制位数表示。

那么，我的问题是：什么是“兼容的进制转换”？也就是说，“2进制→10进制”具有哪些数学特性，而“10进制→2进制”则没有？

（正式表述：为了确保所有有限的N进制数都有相应的有限M进制数，必须具备哪些属性？）

- aioobe

+1 很好的、写得很好的问题，涉及到许多人感到困惑的话题。 - R.. GitHub STOP HELPING ICE

1个回答

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原文链接

- Gareth Rees · Accepted Answer

如果n是一个二进制小数，则n = a / 2^k，其中a和k是整数。

这意味着n = (a · 5^k) / (2^k · 5^k) = (a · 5^k) / 10^k。

因此，每个二进制小数都是十进制小数。

一般情况下，对于任何基数N的分数，仅当N除以某些k次方的M时（或等效地，如果N的每个质因数也是M的质因数），该分数也是基数M的分数。与我上面为2和10提供的论证类似，可以处理“if”方向。对于“only if”方向，请参阅以下概要证明：假设1 / N = a / M^k，则M^k = a · N，因此N除以M^k。

因此，二进制可以转换为十进制而不会丢失任何信息，因为2是10的因子，但十进制无法转换为二进制而不会丢失信息，因为5是10的因子，但2的因子不是。