Mathematica 中的有针对性简化

Question

我会生成非常长且复杂的分析表达式，一般形式如下：

(...something not so complex...)(...ditto...)(...ditto...)...lots...

当我尝试使用Simplify时，Mathematica会变得非常缓慢，我认为这是因为它试图展开括号或简化不同括号之间的表达式。这些括号虽然包含了长表达式，但单独使用Mathematica很容易进行简化。有没有办法将Simplify的范围限制在一个括号内？ 编辑：一些额外的信息和进展。

所以根据你们的建议，我现在开始使用类似以下的东西：

In[1]:= trouble = Log[(x + I y) (x - I y) + Sqrt[(a + I b) (a - I b)]];

In[2]:= Replace[trouble, form_ /; (Head[form] == Times) :> Simplify[form],{3}]

Out[2]= Log[Sqrt[a^2 + b^2] + (x - I y) (x + I y)]

将 Times 改为适当的标题，如 Plus 或 Power，可以更精确地定位简化。然而，仍然存在以下问题/疑问：Simplify 将比指定给 Replace 的级别更深入。

In[3]:= Replace[trouble, form_ /; (Head[form] == Plus) :> Simplify[form], {1}]

Out[3]= Log[Sqrt[a^2 + b^2] + x^2 + y^2]

它也可以简化平方根。

我的计划是从下往上逐级使用Replace，但这显然会导致Simplify大量重复的工作，最终导致Mathematica出现与我一开始遇到的完全相同的卡顿。有没有办法限制Simplify到某个特定的级别？

我意识到这种限制可能不会产生最佳结果，但这里的想法是得到一个“足够好”的东西。

- Timo

Answer 1

有多种方法可以实现这一点，但这可能有点棘手，取决于您实际表达式的结构。然而，通常在括号中的多个项的乘积将具有头部Times，您可以使用FullForm来验证：

In[1]:= FullForm[(a+b)(c+d)]
Out[1]= Times[Plus[a, b], Plus[c, d]]

您可以像处理头部为List的表达式一样处理头部为Times的表达式，使用高阶函数Map，这样可以逐项简化表达式，例如：

Map[Simplify, yourGinormousExpression]

如果您需要随后展开括号，可以在结果上使用Expand。

编辑添加：如果您想指定要简化的表达式形式，可以使用Replace或ReplaceAll代替Map的某个相关函数。 Replace特别有用，因为它可以接受级别规范，这样您就只能影响最顶层乘积中的因子。作为一个简单的例子，请考虑以下内容：

In[1]:= expr = Sqrt[(a + 1)/a] Sqrt[(b + 1)/b];

In[2]:= Simplify[expr]
Out[2]= Sqrt[1 + 1/a] Sqrt[1 + 1/b]

如果您不想简化依赖于a的因素，可以尝试以下方法：

In[3]:= Replace[expr, form_ /; FreeQ[form, a] :> Simplify[form], {1}]
Out[3]= Sqrt[(1 + a)/a] Sqrt[1 + 1/b]

仅第二项与b有关。但需要注意的是，有些转换会自动由Times或Plus完成；例如，即使没有使用Simplify，a + a也会变成2 a。

- Pillsy

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谢谢，这个（以及其他答案）帮了很大的忙。 - Timo

刚刚尝试了这个有用的技巧，将变量列表{y1，y2，..}代替“a”，它非常好用。 - Massimo

Answer 2

我不同意我的同事们的看法，使用Map将Simplify应用于每个子表达式可能不会节省任何时间，因为它仍然会被应用于每个子表达式。相反，请尝试使用MapAt，如下所示：

In[1]:= MapAt[f, SomeHead[a,b,c,d], {4}]
Out[1]:= SomeHead[a, b, c, f[d]]

关键在于确定位置说明。虽然，如果你想简化的表达式在第一层级别，那么它不应该比我上面写的更难。

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现在，如果您仍然希望简化所有内容，但希望保留一些结构，请尝试使用选项{{link1：ExcludedForms}}。过去，我曾使用它来防止这种简化：

In[2]:= Simplify[d Exp[I (a + b)] Cos[c/2]]
Out[2]:= Exp[I(a + b + c)](d + d Exp[c])

数学软件Mathematica似乎喜欢这个，所以我也喜欢。

In[3]:= Simplify[d Exp[I (a + b)] Cos[c/2], ExcludedForms -> {_Cos,_Sin}]
Out[3]:= d Exp[I (a + b)] Cos[c/2]

另外，不要忘记 Simplify 的第二个参数是用于假设条件的，可以极大地帮助你将表达式转化成有用的形式。

- rcollyer

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“ExcludeForms”这个提示很不错，谢谢！我只希望Mathematica有一种可以专门包含形式以简化其他形式的方法，而不是TransformationFunctions，因为它不能为括号设置... - Timo

Answer 3

你应该尝试使用 Map。
通常情况下，对于任何头部 G 和任何表达式 foo，Map[foo, G[a, b, c, ...]] 会给出 G[foo[a], foo[b], foo[c], ...]。

  Map[Simplify, a b c d e]

它给予

  Simplify[a] Simplify[b] Simplify[c] Simplify[d] Simplify[e]

请注意，如果您觉得更方便，可以将Map[foo, expr]表示为foo /@ expr。这与原始写法等效。

- Joren