Eigen：如何检查矩阵是否可逆

Question

我想使用Eigen生成一个随机可逆矩阵，满足以下条件：

Eigen::Matrix<T, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> res(M, N + 1);
Eigen::Matrix<T, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic> y(M, 1);
y.setRandom();
while (true) {
    res.setRandom();
    Eigen::FullPivLU<Eigen::Matrix<T, Eigen::Dynamic, Eigen::Dynamic>> lu(res.transpose() * res);
    if (lu.isInvertible()) {
        break;
    }
}

因此，res^T*res应该是可逆的，但我需要一个随机的res。

- Clebo Sevic

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https://en.cppreference.com/w/cpp/numeric/random - Jesper Juhl

那怎么可能有所帮助呢？@JesperJuhl - Clebo Sevic

你想要一个随机的“东西”。那个链接告诉你如何在现代C++中生成随机数。因此，它应该通过展示如何生成随机数来帮助你生成你的随机东西。 - Jesper Juhl

修改了注释，现在应该更好地反映了我的问题。 - Clebo Sevic

你的实际问题是“如何创建随机的、满秩的、对称正定矩阵？”（或者是随机的、满秩的 Mx(N+1) 矩阵？） - chtz

Answer 1

你的 isInvertible 检查应该在这里起作用。为了进行诊断，您可以检查行列式的绝对值或矩阵的条件数。您应该能够使用行列式成员函数，请参见：https://eigen.tuxfamily.org/dox/classEigen_1_1MatrixBase.html#a7ad8f77004bb956b603bb43fd2e3c061

- Juan Carlos Ramirez

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这比我在这里做的更快还是更慢？ - Clebo Sevic

两者应该是相似的，都使用了LU分解技术。然而，在您的问题中，具有随机双精度（“实数”）系数的矩阵将以概率1具有完全秩，因此只要N + 1小于或等于M，乘积就是可逆的（几乎总是）。 - Juan Carlos Ramirez

好的，谢谢你的回答。问题是，当我设置这些矩阵时没有进行检查，经常会出现运行时错误，因为这些矩阵是奇异的...我忘了提到，结果中的第一列始终为1。 - Clebo Sevic

我认为你的问题可能出在随机分配条目时，尝试使用res.setRandom(M,N+1)来显式地使用矩阵随机设置器。为了调试，请选择足够小的M和N，以便您可以手动调试res；验证所有列是否线性无关。 - Juan Carlos Ramirez

检查行列式以确定矩阵是否可逆通常是一个不好的想法，因为行列式会呈指数级增长。例如，如果 det(A)==1，那么 det(s*A)==pow(s,A.rows())。使用 .isInvertible() 进行检查要好得多（但我认为这不是 OP 的实际问题）。 - chtz

@chtz编辑了我的答案。我怀疑在这种情况下，det仍然会很小，至少与从一个矩阵X ^ TX，X随机期望的值相比(det的绝对值将在高概率下约为const（N ^ N）)。 - Juan Carlos Ramirez