在Mathematica中将4D空间的点投影到3D空间

Question

假设我们有一组点，其限制为每个点的所有坐标都是非负的，并且坐标之和等于1。这将限制点位于三维单纯形中，因此可以尝试将其映射回三维空间进行可视化。

我正在寻找的映射将极端点（1,0,0,0），（0,1,0,0），（0,0,1,0）和（0,0,0,1）映射到“位置良好”的正四面体的顶点。特别地，正四面体的中心将位于原点，一个顶点将位于z轴上，一个面将平行于x，y平面，一个边将平行于x轴。

下面是针对三维点执行类似操作的代码，但不明显如何将其扩展到4维。基本上，我正在寻找函数tosimplex的4-d等效项（它将4个维度转换为3个维度），以及它的反函数fromsimplex。

A = Sqrt[2/3] {Cos[#], Sin[#], Sqrt[1/2]} & /@ 
    Table[Pi/2 + 2 Pi/3 + 2 k Pi/3, {k, 0, 2}] // Transpose;
B = Inverse[A];
tosimplex[{x_, y_, z_}] := Most[A.{x, y, z}];
fromsimplex[{u_, v_}] := B.{u, v, Sqrt[1/3]};
(* checks *)
extreme = {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}};
Graphics[Polygon[tosimplex /@ extreme]]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

答案： deinst的答案简单地以矩阵的形式重新表述如下。（1 / sqrt [4]出现为第四个坐标，因为它是到单纯形中心的距离）

A = 转置[{{-(1/2), -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {1/2, -(1/(2 Sqrt[3])), -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, -(1/(2 Sqrt[3])) + Sqrt[3]/2, -(1/(2 Sqrt[6])), 
     1/Sqrt[4]}, {0, 0, Sqrt[2/3] - 1/(2 Sqrt[6]), 1/Sqrt[4]}}];
B = 逆[A];
tosimplex[{x_, y_, z_, w_}] := 最初[A.{x, y, z, w}];
fromsimplex[{t_, u_, v_}] := B.{t, u, v, 1/Sqrt[4]};
(* 检查 *)
extreme = 表[{阵列[Boole[# == i] &, 4]}, {i, 1, 4}];
Graphics3D[Sphere[tosimplex[#], .1] & /@ extreme]
fromsimplex[tosimplex[#]] == # & /@ extreme

注：此代码为Mathematica语言，主要是进行一些矩阵运算和坐标变换的操作。

- Yaroslav Bulatov

Answer 1

You want

   (1,0,0,0) -> (0,0,0)
   (0,1,0,0) -> (1,0,0)
   (0,0,1,0) -> (1/2,sqrt(3)/2,0)
   (0,0,0,1) -> (1/2,sqrt(3)/6,sqrt(6)/3))

这是一个线性变换，因此您可以进行转换

   (x,y,z,w) - > (y + 1/2 * (z + w), sqrt(3) * (z / 2 + w / 6), sqrt(6) * w / 3)

编辑 您希望将中心放在原点 - 只需减去四个点的平均值。抱歉。

(1/2, sqrt(3)/6, sqrt(6) / 12)

- deinst

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练习。有半页涂鸦的三角形等图形。唯一棘手的部分是四面体的高度，一旦你得到了底面的中心，就只是代数问题。 - deinst

Answer 2

一种可能的方法：

1. 从四面体中心向每个顶点生成四个（非正交）三维向量 \vec{v}_i。
2. 对于每个四元组位置 x = (x_1 .. x_4)，形成向量和 \Sum_i x_i*\vec{v}_i。

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当然，一般情况下这种映射并不唯一，但是你对 x_i 的总和为1的限制会约束事物。

- dmckee --- ex-moderator kitten

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敢猜一下如何从四面体中心获取指向每个顶点的4个向量的坐标吗？;) - Yaroslav Bulatov