最小化两个数据集之间的插值误差

Question

在下面的图表顶部，我们可以看到一些数值（y轴）随着时间（x轴）而变化。在这个过程中，我们会在不同且无法预测的时间对该值进行取样，并在红色和蓝色两个数据集之间交替取样。

当计算任何时刻的值时，我们期望红色和蓝色数据集都将返回类似的值。然而，正如三个较小的框所示，事实并非如此。随着时间的推移，每个数据集（红色和蓝色）的值将会分散然后重新汇聚到原始值周围。

最初我使用线性插值来获取值，接下来我尝试使用Catmull-Rom插值。前者导致值在每个数据点之间趋于接近然后漂离；后者导致值保持更近，但平均误差更大。

是否有人能够提出另一种策略或插值方法，能够提供更大的平滑度（也许通过使用更多来自每个数据集的采样点）？

- davetapley

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值得注意的是，我准备为了一致性而牺牲准确性。线性和Catmull-Rom插值都保证如果我请求一个时间值，恰好是采样点，它们将返回精确的采样值；但我并不需要这个保证。 - davetapley

我有点不确定这是否有帮助，但您是否了解准随机抽样？在集成概率分布等通常使用随机抽样的情况下，它可以非常有帮助。 - Mike Dunlavey

Answer 1

我认为您所问的问题没有一个直接的答案，需要更多了解样本过程的基础知识。由于其本质，样本之间的函数值可以是任何内容，因此我认为没有办法保证两个样本数组的插值收敛。

话虽如此，如果您事先了解底层过程，那么您可以选择几种插值方法来最小化误差。例如，如果您以机翼速度为函数测量阻力力，则知道其关系是平方（a*V^2）。然后，您可以选择二次多项式拟合，在两个序列的插值之间有相当好的匹配程度。

- ysap

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感谢ysap，这些值实际上将成为位置向量的组成部分，因此它是一个连续函数。因此，Catmull-Rom实际上是一种非常好的插值方法，但它会在两个数据集之间产生所描述的误差。 - davetapley

Answer 2

我想引用Catmull-Rom样条曲线介绍来建议不要在这个插值任务中使用Catmull-Rom。

Catmull-Rom样条曲线的一个特点是指定曲线将通过所有控制点，而并非所有类型的样条曲线都具备此特性。

根据定义，您的红色插值曲线将经过所有红色数据点，蓝色插值曲线将经过所有蓝色数据点。因此，您无法获得两个数据集的最佳拟合。

您可以改变边界条件，并使用两个数据集中的数据点进行分段逼近，如这些幻灯片所示。

- zellus

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你知道有哪些样条类型不保证通过所有控制点吗？另外感谢提供幻灯片的链接，我应该注意到这两组数据可能不来自同一数据集（因此我们不能进行比较），但将它们视为相同以演示问题是很有用的。 - davetapley

Answer 3

我同意ysap的观点，认为这个问题不能像你期望的那样回答。根据模型动态性质，可能有更好的插值方法 - 正如ysap所说，如果已知底层动态性质，则建议使用这些方法。

关于红色/蓝色样本，我认为您对采样和插值数据集做出了很好的观察，并且我要挑战您最初的期望：

在计算任何时间的值时，我们希望红色和蓝色数据集返回类似的值。

我不指望这样。如果您假设您无法完美地进行插值 - 特别是如果插值误差与样本误差相比较大 - 那么您肯定会有一个连续的误差函数，该函数在离样本点最远（时间）的地方表现出最大的误差。因此，具有不同采样点的两个数据集应该表现出您所看到的行为，因为距离红色采样点较远（时间上），可能接近蓝色采样点（时间上），反之亦然 - 如果像您的点一样错开，这肯定是真实的。因此，我期望您所展示的情况：

随着时间的推移，每个数据集（红色和蓝色）的值将呈现出分歧，然后收敛于原始值。

（如果您没有关于底层动态的信息（除了频率内容），那么Giacomo在采样方面的观点是关键的 - 但是，如果查看低于奈奎斯特的信息，则无需插值。）

- sage

Answer 4

尝试使用B样条：Catmull-Rom插值（穿过数据点），B样条进行平滑处理。
例如，对于均匀间隔的数据（不是您的情况）

Bspline(t) = (data(t-1) + 4*data(t) + data(t+1)) / 6

当然，插值的红色/蓝色曲线取决于红色/蓝色数据点的间距，因此无法完全匹配。

- denis

Answer 5

在对原始连续函数进行采样时，采样频率应符合Nyquist-Shannon采样定理，否则采样过程会引入误差（也称为混叠）。由于两个数据集中的误差不同，因此插值时会得到不同的值。

因此，您需要知道原始函数的最高频率B，然后以至少2B的频率收集样本。如果您的函数具有非常高的频率，并且无法快速采样，则应尝试在采样之前将它们滤除。

- Giacomo Verticale