IEEE 754浮点数中第一个无法准确表示的整数是多少？

Question

为了更清晰地说明，如果我在使用一个实现IEEE 754浮点数的语言，并声明：

float f0 = 0.f;
float f1 = 1.f;

如果我对一个IEEE 754浮点数执行操作（比如加、减或乘），然后将它们打印出来，我会得到0.0000和1.0000——完全一致。

但是IEEE 754不能表示实数线上的所有数字。接近零时，“间隙”很小；当你远离零时，这些间隙变得越来越大。

因此，我的问题是：对于一个IEEE 754浮点数，哪个是第一个（最接近零）无法精确表示的整数？目前我只关心32位浮点数，不过如果有人提供64位浮点数的答案，我也会感兴趣！

我认为这应该很简单，只需要计算2^{bits_of_mantissa}并加1，其中bits_of_mantissa是标准暴露出的位数。我在我的机器上（MSVC++，Win64）对32位浮点数进行了这样的计算，似乎没有问题。

- Floomi

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因为我认为最大化尾数将给出最高可表示的数字。2^22。不，这是一个好奇的问题。即使我知道所讨论的整数非常小，但我总觉得在浮点数中放置整数有些不妥。我想知道上限是多少。就我所知，标题和问题是相同的，只是措辞不同。 - Floomi

可能是What's the first double that deviates from its corresponding long by delta?的重复问题。 - Andrew Mao

这是一个关于在Double类型中能存储最大整数的问题，原文链接：https://dev59.com/G3I-5IYBdhLWcg3wc3-w 。 - FrankH.

@KyleStrand 撤销了^2。我不知道为什么当时一个看起来比另一个更正确。现在与“...是位数的数量…”相比，它们都显得笨拙。 - Pascal Cuoq

@PascalCuoq 感谢您再次考虑此事并做出更改！我同意，“the number”是更好的措辞。 - Kyle Strand

Answer 1

2的幂指数（尾数位数+1）中的+1，是因为如果尾数包含abcdef...，它表示的数字实际上是1.abcdef... × 2^e，提供了额外的隐含位精度。

因此，第一个无法准确表示并将被舍入的整数为：

• 对于32位浮点数，为16,777,217（2²⁴ + 1）。
• 对于64位浮点数，为9,007,199,254,740,993（2⁵³ + 1）。

以下是使用64位浮点数的CPython 3.10的示例：

>>> 9007199254740993.0
9007199254740992.0

- kennytm

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我声明了一个浮点数并将它设置为16,777,217。但是，当我使用“cout”输出它时，结果是16,777,216。我正在使用C++。为什么我无法得到16,777,217？ - sodiumnitrate

@sodiumnitrate，请检查问题标题。16777217是第一个无法被精确表示的整数。请注意，这里的"incapable"意为"无法"或"不能"的意思。 - kennytm

下一个整数确实是16777218，因为2现在成为了最后一位有效的二进制数字。 - kennytm

在C++中，这是(1 << std::numeric_limits<float>::digits) + 1，在C语言中是(1 << FLT_MANT_DIG) + 1。前者适合作为模板的一部分使用。如果只想得到最大可表示整数，则不要添加+1。 - Henry Schreiner

你可以使用这个工具来检查浮点数的位表示，并找到最小/最大整数值：https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/IEEE754.html 这里还有一个用于16、32、64和128位浮点数的工具：http://weitz.de/ieee/ - Zack Morris

Answer 2

n 位整数所能表示的最大值为 2ⁿ-1。如上所述，一个 float 在尾数上有 24 个二进制位的精度，似乎意味着 2²⁴ 不会适合。

然而.

在指数范围内的 2 的幂次方可以被表示为 1.0×2ⁿ，所以 2²⁴ 是可以 表示的，因此 float 的第一个不能表示为精确值的整数是 2²⁴+1。如上所述。再次说明。

- thus spake a.k.

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这清楚地解释了另一个部分中“额外的隐式精度位”的含义。谢谢。 - chappjc