左矩阵除法和Numpy求解

Question

我正在尝试将包含 \ 运算符的Matlab（Octave）代码转换为Python。示例代码：

B = [2;4]
b = [4;4]
B \ b

这个方法有效，并产生1.2作为答案。使用此网页：

http://mathesaurus.sourceforge.net/matlab-numpy.html

我将其翻译为：

import numpy as np
import numpy.linalg as lin
B = np.array([[2],[4]])
b = np.array([[4],[4]])
print lin.solve(B,b)

这给了我一个错误：

numpy.linalg.linalg.LinAlgError: Array must be square

为什么Matlab在B不是方阵的情况下可以使用\符号？

有解决方法吗？

- BBSysDyn

Answer 1

从MathWorks文档中关于左除矩阵的定义：

如果A是一个m×n的矩阵，其中m≠n且B是一个有m个分量的列向量或者包含若干个这样列向量的矩阵，那么X = A\B是最小二乘意义下解决超定或欠定方程组AX = B的解。换句话说，X使得范数(A*X - B)最小，其中AX - B是向量。

在numpy中相应的函数是np.linalg.lstsq：

In [15]: B = np.array([[2],[4]])

In [16]: b = np.array([[4],[4]])

In [18]: x,resid,rank,s = np.linalg.lstsq(B,b)

In [19]: x
Out[19]: array([[ 1.2]])

- unutbu

Answer 2

当使用 \ 运算符时，Matlab 实际上会执行许多不同的操作，具体取决于所涉及矩阵的形状(请参见此处获取更多详细信息)。在您的示例中，Matlab 返回的是最小二乘解，而不是像在方阵中那样直接解决线性方程。若要在 numpy 中获得相同的行为，请执行下列操作：

import numpy as np
import numpy.linalg as lin
B = np.array([[2],[4]])
b = np.array([[4],[4]])
print np.linalg.lstsq(B,b)[0]

这应该会给你与Matlab相同的解决方案。

- talonmies

Answer 3

你可以形成左逆：

import numpy as np
import numpy.linalg as lin
B = np.array([[2],[4]])
b = np.array([[4],[4]])

B_linv = lin.solve(B.T.dot(B), B.T)
c = B_linv.dot(b)
print('c\n', c)

结果：

c
 [[ 1.2]]

实际上，我们可以简单地运行求解器一次，而不需要形成逆矩阵，如下所示：

c = lin.solve(B.T.dot(B), B.T.dot(b))
print('c\n', c)

结果：

c
 [[ 1.2]]

....如之前所述

为什么？因为：

我们有：

乘以B.T得到：

现在，B.T.dot(B)是方阵，完全秩，具有逆矩阵。因此，我们可以乘以B.T.dot(B)的逆矩阵，或使用上面的求解器来得到c。

- Hugh Perkins