何时应该使用 hypot 而不是 sqrtl?

Question

何时应该使用 hypot 而不是 sqrtl?

cperformancemath

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这里已经讨论过，hypot比sqrt慢，因为它处理当两个输入非常大或非常小时的情况，使得sqrt会错误地返回inf或0。

然而，根据一些测试，hypot甚至比首先转换为更高精度然后进行平凡计算和转换更慢。

那么，在什么情况下应该使用hypot？只有当没有更大的浮点类型并且溢出是一个问题时吗？

编辑：sqrtl和hypot在输入a=1,b=1.8e-8时有所不同，但sqrtl返回更准确的结果：

hypot 1.0
sqrtl 1.000000000000000222044604925031
exact 1.000000000000000161999999999999986878000000000002125764000...
1+eps 1.0000000000000002220446049250313080847263336181640625

在结果中添加eps的确切行数在此处显示。

- l4m2

2个回答

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这是因为你在比较不应该比较的东西... hypot 并没有将值转换成更高的精度，计算平方根再转回低精度。相反，hypot 使用专门的算法确保即使数字对于给定的精度非常大或非常小，计算结果也会返回良好的结果。还有一个 hypotl 可以计算长双精度浮点数的长度，而使用 sqrtl 无法计算得很好。此外，long double 可能与 double 完全相同类型...

- Jean-Baptiste Yunès

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hypot() 的主要作用不是解决大数的问题，而是解决精度损失的问题。当你平方一个数时，需要两倍于原数的位数来保存结果，取根运算时，结果的很多位数依赖于这些额外的位数，特别是在值比较小的情况下。因此，如果您有 float 值，则将它们扩展为 double，平方、相加、求根，最后将结果转换回 float 是一种有效的方法。如果您的输入已经是 double，并且需要高精度，则需要使用 hypot()。 - cmaster - reinstate monica

@cmaster-reinstatemonica 您是正确的，我过于简化了，因为似乎即使在提到的文章中也已经正确说明了，但 OP 并没有很好地理解问题。 - Jean-Baptiste Yunès

@cmaster-reinstatemonica 当使用 sqrt 时，它总会失去精度。是否有输入使它们的输出不同？另外，将 float 扩展为 double 并使用 sqrt 比使用 hypotf 更快。 - l4m2

我知道它们使用不同的方法，但如果它们的作用相同，为什么我需要使用它呢？另外，“有一个 hypotl 函数可以计算长双精度浮点数的长度，而使用 sqrtl 函数可能无法正确计算。此外，长双精度浮点数可能与双精度浮点数完全相同...”被认为是“当没有更大的浮点类型并且溢出成为问题时”。 - l4m2

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答案的关键部分是：“而且，long double 可能与 double 完全相同的类型”-换句话说，回答问题标题所问的，“当您希望您的代码具有可移植性时”。 - R.. GitHub STOP HELPING ICE

这个回答并没有回答所问的问题，即何时应该使用hypot而不是其他方法，比如使用更高精度或范围的直接计算。 - Eric Postpischil

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可以查看英文原文，
原文链接

- chqrlie · Accepted Answer

double hypot(double x, double y) 函数计算直角三角形斜边的长度，其两条直角边分别为 x 和 y，或者计算点 (x, y) 到原点的距离。使用这个函数而不是直接使用公式 sqrt(x * x + y * y) 是明智的，因为误差要小得多。实际上，对于某些参数值，平方可能会导致精度丢失（如果值太小，则将其平方产生 0），或者如果值太大则产生无限结果。使用直接公式可能会产生不正确的结果，甚至超出了预期范围： max(|x|, |y|) <= hypot(x, y) <= sqrt(2) * max(|x|, |y|)。

hypot() 使用替代公式来避免这些异常情况，但会带来一定的性能损失，但如果您知道参数不会导致精度丢失或无限结果，并且您需要额外的速度而牺牲一些正确性，您可以使用简单的公式 sqrt(x * x + y * y)。

作为经验法则，如果 x 和 y 都为零或者它们的绝对值介于 1e-100 到 1e+100 之间，并且 1e-4 <= |x|/|y| <= 1e4，那么使用 sqrt 应该是可以的。

在您的例子中，b 相对于 a 很小，导致完全失去精度，因为 b*b 比 a*a 小得很多，以至于 a*a + b*b 无法与 a*a 区分开来。使用 long double 作为中间结果能够获得足够的额外精度，使得 a*a + b*b 能够用足够的精度表示，以便 sqrt 计算出有意义的结果。但是由于 sqrt(1 + epsilon) 大约等于 1 + epsilon/2，结果仍然可用。