使用透视变换对图像进行倾斜

Question

我正在尝试对图像进行倾斜，就像这里显示的一样：

_{(来源：microsoft.com)}
.

我有一个表示我的图像的像素数组，但不确定该怎么做。

- user293895

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为了达到图像的效果，您不需要透视变换。仿射变换就足够了。 - kennytm

Answer 1

一个更好的方法是通过反向映射来实现。

本质上，您想要“扭曲”图像，对吧？这意味着源图像中的每个像素都会到达预定义点 - 预定义是一个变换矩阵，告诉您如何旋转、缩放、平移、剪切等图像，这实际上是将图像上的某些坐标(x,y)取出，并说：“好的，这个像素的新位置是(f(x),g(y))。”

这就是“扭曲”的本质。

现在，考虑缩放图像...比如将其放大十倍。这意味着像素点(1,1)变成了新图像中的像素点(10,10)，然后下一个像素点(1,2)变成了新图像中的像素点(10,20)。但是如果你继续这样做，你将没有一个像素点(13,13)的值，因为在原始图像中(1.3,1.3)是未定义的，你的新图像中会有一堆空洞 - 你必须使用新图像中周围的四个像素点进行插值，即(10,10)、(10,20)、(20,10)、(200,2) - 这被称为双线性插值。

但是这里还有另一个问题，假设你的变换不是简单的缩放，而是仿射变换（就像你发布的示例图像）-那么（1,1）将变成类似于（2.34,4.21）的东西，然后您必须在输出图像中将它们舍入为（2,4），然后您必须对新图像进行双线性插值以填充空洞或更复杂的插值-混乱对吧？

现在，没有办法避免插值，但我们可以通过仅执行一次双线性插值来摆脱它。怎么做？简单，使用反向映射。

不要把它看作源图像到新图像的过程，而是考虑新图像的数据将从源图像的哪里获取！因此，在新图像中的（1,1）将来自源图像中的某些反向映射，例如（3.4,2.1），然后在源图像上进行双线性插值以找出相应的值！

变换矩阵

好的，那么如何为仿射变换定义转换矩阵呢？这个网站告诉你如何通过合成旋转、剪切等不同的变换矩阵来实现。

变换：

_{(来源：mathieu at people.gnome.org)}

合成：

_{(来源：mathieu at people.gnome.org)}

最终矩阵可以通过按顺序组合每个矩阵并将其反转来获得逆映射 - 使用此方法计算源图像中像素的位置并进行插值。

- Jacob

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哇，你这样解释它真的很简单。我之前一直是这样想的，但到目前为止，我看到的所有资料都太快地跳进了矩阵数学中。 - bobbdelsol

Answer 2

如果你不想重复造轮子，可以看看OpenCV库。它实现了许多有用的图像处理函数，包括透视变换。检查cvWarpPerspective，我已经使用它轻松完成了这个任务。

- jeff7

Answer 3

正如KennyTM所评论的那样，您只需要一个仿射变换，它是通过将每个像素乘以矩阵M并将结果加到平移向量V中获得的线性映射。这是简单的数学。

end_pixel_position = M*start_pixel_position + V

其中M是由旋转或缩放等简单变换组成的复合变换，V是一个向量，通过为每个像素添加固定系数来平移图像的每个点。

例如，如果您想旋转图像，则可以定义一个旋转矩阵：

    | cos(a) -sin(a) |
M = |                |
    | sin(a)  cos(a) |

其中 a 是您想要旋转图像的角度。

而缩放使用以下形式的矩阵：

    | s1   0 |
M = |        |
    | 0   s2 |

其中s1和s2是两个轴上的缩放因子。

翻译时，您只需要考虑向量V：

    | t1 |
V = |    |
    | t2 |

该技术涉及到添加t1和t2到像素坐标中的矩阵变换。

然后，您可以将这些矩阵组合成一个单一的变换。例如，如果您有缩放、旋转和平移，则最终会得到以下内容：

| x2 |             | x1 |
|    | = M1 * M2 * |    | + T
| y2 |             | y1 |

其中：

• x1 和 y1 是应用变换前的像素坐标，
• x2 和 y2 是应用变换后的像素坐标，
• M1 和 M2 是用于缩放和旋转的矩阵（记住：矩阵的组合不是可交换的！通常情况下，M1 * M2 * Vect != M2 * M1 * Vect），
• T 是用于将每个像素平移的平移向量。

- Jack