将二维点反投影到三维空间

Question

假设我们有一个带有任意方程的平面在3D空间中：ax+by+cz+d=0，现在假设我们在该平面上选择了3个随机点：（x0，y0，z0）（x1，y1，z1）（x2，y2，z2） 现在我有一个不同的视角（相机），用于观察此平面。也就是说，我有一个从不同视角观察这个平面的不同相机。从该相机的视角看，这些点具有不同的位置。例如，（x0，y0，z0）将成为（x0'，y0'），（x1，y1，z1）将成为（x1'，y1'），（x2，y2，z2）将成为（x2'，y2'）。 我想要从新相机的视角选择一个点（例如（X，Y）），并告诉它在该平面上的位置。我所知道的只有3个点以及它们在3D空间中的位置和它们在新相机视图上的投影位置。

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你是否知道平面方程的系数和相机位置（以及投影），或者你只有六个点？ 我知道前3个点的位置，因此我们可以计算平面的系数。因此，我们准确地知道平面是从（0,0,0）点的视角处看到的位置。然后我们有一个只能看到点的相机！因此，相机所看到的唯一事物是3个点，并且它也知道它们在3D空间中的位置（当然还知道它们在2D相机视图平面上的位置）。最后，在我查看相机视图之后，我想选择一个点（例如（x1，y1）），并告诉该点在该平面上的位置（当然，该（X，Y，Z）点应适合于平面方程）。此外，我对相机位置一无所知。

- ehsan baghaki

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如果你需要一个答案，我会提供一份悬赏金。 - Michael Schmidt

另请参阅：如何将2D点反投影到3D空间？ - hippietrail

Answer 1

你在询问如何求一条直线和一个平面的交点吗？ 请看这里 http://paulbourke.net/geometry/pointlineplane/ 顺便说一句，你的老师也知道这个网站！

- mgb

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坏链接 - 当前页面：http://paulbourke.net/geometry/pointlineplane/ 存档页面：http://web.archive.org/web/20080907223405/http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/geometry/planeline/ - oPless

我认为所询问的问题可以重新表述为一条直线和一个平面的交点。搜索的点在二维屏幕上线性映射（(x,y) = Q1xX + Q2xY+Q3*z），其中x、y是二维坐标，而X、Y、Z是所搜索点的坐标。 - Ion Andrei Bara

Answer 2

这个问题无法给出一个明确的解决方案。然而，以下是我如何提取不同解决方案的方法：

1）使用原始RANSAC论文中的P3P（透视三点）算法求解相机位置和方向，该算法可以给出最多四个可能的可行解（与相机前面的点）。

2）以相机位置为原点投射一条射线，将（X，Y）作为在相机中的投影，并计算其与平面的交点。

- digitalvision

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如果您有4个点，请使用单应性矩阵。 - Cfr