随机数位数分布

Question

我在尝试在JavaScript中实现UUID生成器时遇到了一个有趣的现象。

基本上，在Node 4.2.2上，如果使用内置的Math.random()生成大量随机数：

var records = {};
var l;
for (var i=0; i < 1e6; i += 1) {
  l = String(Math.random()).length;
  if (records[l]) {
    records[l] += 1;
  } else {
    records[l] = 1;
  }
}
console.log(records);

数字的位数有一个奇怪的模式：

{ '12': 1,
  '13': 11,
  '14': 65,
  '15': 663,
  '16': 6619,
  '17': 66378,
  '18': 611441,
  '19': 281175,
  '20': 30379,
  '21': 2939,
  '22': 282,
  '23': 44,
  '24': 3 }

我本以为这是 V8 的随机数生成器的一个怪癖，但类似的模式也出现在 Python 3.4.3 中：

12 : 2
13 : 5
14 : 64
15 : 672
16 : 6736
17 : 66861
18 : 610907
19 : 280945
20 : 30455
21 : 3129
22 : 224

而Python代码如下：

import random
random.seed()
records = {}
for i in range(0, 1000000):
    n = random.random()
    l = len(str(n))
    try:
        records[l] += 1
    except KeyError:
        records[l] = 1;

for i in sorted(records):
    print(i, ':', records[i])

这是预期的18位数及以下的模式：例如随机数应该有20位数字，如果一个数的最后一位是0，那么它实际上只有19位数字。如果随机数生成器很好，那么它发生的概率大约是1/10。

但是为什么19位及以上的模式相反呢？

我猜这与浮点数的二进制表示有关，但我无法确定原因。

- Andreas Blaesus

---

一些离题的事情：获取该字典的另一种方法：__import__('collections').Counter(len(str(__import__('random').random())) for i in range(0, 1000000))。 - Remi Guan

如果你查看 Math.random().toString(2).length，你会看到一个不同的模式，可能更符合你的期望。 - Jaromanda X

@KevinGuan 而 JavaScript ES6 的对应方法（有点类似）：Array.apply(null, Array(1e5)).map(() => Math.random()).reduce((records, n) => records[String(n).length] ? (records[String(n).length] += 1, records) : (records[String(n).length] = 1, records), {}) - Andreas Blaesus

@Jaromanda X，二进制表示法也会显示类似的效果。这与有效数字的数量和表示微小数字所需的位数之间的差异有关，而不使用指数。 - trincot

您可能会喜欢这个谜题，它基于有关随机数字符串表示的相关事实。http://blog.coverity.com/2014/09/17/spot-defect-randomness - Eric Lippert

Answer 1

原因确实与浮点数表示有关。浮点数表示法具有它可以表示的最大（二进制）数字位数和有限的指数值范围。现在，如果您在不使用科学计数法的情况下将其打印出来，您可能需要在小数点后面有一些零，然后才会出现有效数字。

您可以通过打印那些转换为string时长度最长的随机数来可视化此效果：

var records = {};
var l, r;
for (var i=0; i < 1e6; i += 1) {
    r = Math.random();
    l = String(r).length;
    if (l === 23) {
        console.log(r);
    }
    if (records[l]) {
        records[l] += 1;
    } else {
        records[l] = 1;
    }
}

这将仅打印长度为23的字符串，您将获得像这样的数字：

0.000007411070483631654
0.000053944830052166104
0.000018188989763578967
0.000029525788901141325
0.000009613635131744402
0.000005937417234758158
0.000021099748521158368

请注意第一个非零数字前面的零。这些实际上并没有存储在浮点表示的数字部分中，而是由其指数部分隐含。

如果您删除前导零，然后进行计数：

var records = {};
var l, r, s;
for (var i=0; i < 1e6; i += 1) {
    r = Math.random();
    s = String(r).replace(/^[0\.]+/, '');
    l = s.length;

    if (records[l]) {
        records[l] += 1;
    } else {
        records[l] = 1;
    }
}

如果你使用更少奇怪的结果，可以尝试以下代码：

然而，你会发现一些不规则性，这归功于javascript将小数字转换为string时使用科学计数法的表示方法。可以通过以下脚本看到这一点（不确定每个浏览器的分界点是否相同，因此可能需要稍微调整数字）：

var i = 0.00000123456789012345678;
console.log(String(i), String(i/10));

这给我以下输出：

0.0000012345678901234567 1.2345678901234568e-7

非常小的数字会得到一个更固定的字符串长度，通常为22个字符，而在非科学记数法中，长度为23是常见的。这也影响了我提供的第二个脚本，长度为22的命中率比23高。

需要注意的是，在二进制表示中，JavaScript在转换为字符串时不会切换到科学计数法：

var i = 0.1234567890123456789e-120;
console.log(i.toString(2));

上述代码将输出一个超过450个二进制数字的字符串！

- trincot

---

需要注意的是，JavaScript 有一个 Number.toFixed() 方法，当需要将数字的字符串表示用于数学运算时可以使用它。 - Blackhole

是的，那是一个有趣的替代方案。对于OP的统计分析来说，这可能不太有用——所有字符串的长度都将相同。 - trincot

Answer 2

这是因为一些值是这样的：

0.00012345...

因此它们更长。

- Tom Zych