如何在约束优化中将参数总和设置为1

Question

如何在约束优化中将参数总和设置为1

6

这里是代码（如果太长，我很抱歉，但这是我手头唯一的例子）；我正在使用A. Wittmann的CreditMetrics包中的CVaR示例以及DEoptim求解器进行优化：

library(CreditMetrics)
library(DEoptim)

N <- 3
n <- 100000
r <- 0.003
ead <- rep(1/N,N)
rc <- c("AAA", "AA", "A", "BBB", "BB", "B", "CCC", "D")
lgd <- 0.99
rating <- c("BBB", "AA", "B")   
firmnames <- c("firm 1", "firm 2", "firm 3")
alpha <- 0.99

# correlation matrix
rho <- matrix(c(  1, 0.4, 0.6,
                  0.4,   1, 0.5,
                  0.6, 0.5,   1), 3, 3, dimnames = list(firmnames, firmnames),
              byrow = TRUE)

# one year empirical migration matrix from standard&poors website
rc <- c("AAA", "AA", "A", "BBB", "BB", "B", "CCC", "D")
M <- matrix(c(90.81,  8.33,  0.68,  0.06,  0.08,  0.02,  0.01,   0.01,
              0.70, 90.65,  7.79,  0.64,  0.06,  0.13,  0.02,   0.01,
              0.09,  2.27, 91.05,  5.52,  0.74,  0.26,  0.01,   0.06,
              0.02,  0.33,  5.95, 85.93,  5.30,  1.17,  1.12,   0.18,
              0.03,  0.14,  0.67,  7.73, 80.53,  8.84,  1.00,   1.06,
              0.01,  0.11,  0.24,  0.43,  6.48, 83.46,  4.07,   5.20,
              0.21,     0,  0.22,  1.30,  2.38, 11.24, 64.86,  19.79,
              0,     0,     0,     0,     0,     0,     0, 100
)/100, 8, 8, dimnames = list(rc, rc), byrow = TRUE)

cm.CVaR(M, lgd, ead, N, n, r, rho, alpha, rating)

y <- cm.cs(M, lgd)[which(names(cm.cs(M, lgd)) == rating)]

现在我写下了我的函数...

fun <- function(w) {
  # ... 
  - (t(w) %*% y - r) / cm.CVaR(M, lgd, ead = w, N, n, r, 
                           rho, alpha, rating)
}

我想对它进行优化：

DEoptim(fn = fun, lower = rep(0, N), upper = rep(1, N), 
        control = DEoptim.control())

请告诉我，在优化的过程中，我需要在 # ... 中插入什么内容才能使得 sum(w) = 1。

以下是根据flodel的提示所展示的优化结果：

# The first trick is to include B as large number to force the algorithm to put sum(w) = 1

fun <- function(w) {
  - (t(w) %*% y - r) / cm.CVaR(M, lgd, ead = w, N, n, r, rho, alpha, rating) + 
    abs(10000 * (sum(w) - 1))
}

DEoptim(fn = fun, lower = rep(0, N), upper = rep(1, N), 
        control = DEoptim.control())

$optim$bestval
[1] -0.05326055

$optim$bestmem
par1        par2        par3 
0.005046258 0.000201286 0.994752456

parsB <- c(0.005046258, 0.000201286, 0.994752456)

> fun(parsB)
            [,1]
[1,] -0.05326089

如您所见，第一种技巧的效果更好，因为他找到了比第二种结果更小的结果。不幸的是，似乎他需要更长的时间。

# The second trick needs you use w <- w / sum(w) in the function itself

fun <- function(w) {
  w <- w / sum(w)
  - (t(w) %*% y - r) / cm.CVaR(M, lgd, ead = w, N, n, r, rho, alpha, rating) #+ 
    #abs(10000 * (sum(w) - 1))
}

DEoptim(fn = fun, lower = rep(0, N), upper = rep(1, N), 
        control = DEoptim.control())

$optim$bestval
[1] -0.0532794

$optim$bestmem
par1         par2         par3 
1.306302e-15 2.586823e-15 9.307001e-01

parsC <- c(1.306302e-15, 2.586823e-15, 9.307001e-01)
parC <- parsC / sum(parsC)

> fun(parC)
           [,1]
[1,] -0.0532794

有什么意见吗？

如果要优化的函数“过于随机”，我是否应该增加迭代次数？

- Lisa Ann

在上面的“第二个技巧”的代码中，您忘记在“fun”的主体中添加w <- w / sum(w)。您能否更新您的代码和结果？ - flodel

谢谢，我刚刚更新了。根据这些结果，最好的方法是什么？ - Lisa Ann

你说得对，我删错了。我忘记了将变量的上限设为1，如果在函数体中不插入 w <- w / sum(w)，将会得到错误的结果。 - Lisa Ann

关于 w <- c(w, 1-sum(w))，它在 t(w) %*% y 中返回了一个数组不兼容的参数错误。 - Lisa Ann

根据这种最后的方法，最后一个变量（通过1-sum(w)获得的变量）可能是负数吗？这将违反我的限制。 - Lisa Ann

显示剩余2条评论

3个回答

1

我认为你应该对任何偏差都加以惩罚。在最小化问题中添加一个项+(sum(weights) - 1)^2 * 1e10。你会发现这个巨大的惩罚将强制权重总和为1！

- Marco

0

通过你所应用的技巧：

fun <- function(w) {
  w <- w / sum(w)
  - (t(w) %*% y - r) / cm.CVaR(M, lgd, ead = w, N, n, r, rho, alpha, rating) #+ 
    #abs(10000 * (sum(w) - 1))
}

为什么你不在这种情况下使用优化？我认为它会更快。

- Karan Samlal

这并不是一个真正的答案。请在评论部分提出问题和澄清请求，而不是在回答部分。 - Roger-123

网页内容由stack overflow 提供, 点击上面的

可以查看英文原文，
原文链接

- flodel · Accepted Answer

尝试：

w <- w / sum(w)

如果DEoptim给出一个最优解w*，使得sum(w*) != 1，那么w*/sum(w*)应该是您的最优解。

另一种方法是在除一个变量之外的所有变量上求解。我们知道最后一个变量的值必须为1 - sum(w)，因此在函数体中写入:

w <- c(w, 1-sum(w))

并且对 DEoptim 返回的最优解做相同处理：w* <- c(w*, 1-sum(w*)) 这两种解决方案都要求您将问题重新表述为无约束优化（不考虑变量限制），以便可以使用 DEoptim。这强制您在 DEoptim 之外进行一些额外的工作，以恢复原始问题的解决方案。

回答您的评论，如果您想让 DEoptim 立即给出正确答案（即不需要后续转换），您也可以尝试在目标函数中包含惩罚成本：例如添加 B * abs(sum(w)-1)，其中 B 是一些任意大的数字，因此 sum(w) 将被强制为 1。