根据给定比例随机生成数字

Question

我需要在给定的正区间（a，b）上生成按指数分布的数字。使用“反函数法”，我制作了一个指数分布的数字生成器。但是，这个数字是正数，我希望它在给定的区间上。我该怎么做才能只在区间内生成？

在Python中使用反函数法生成指数分布的数字代码如下：

u = random.uniform(0,1)
return (-1/L)*math.log(u)

其中 L 是一个给定的正参数。

提前感谢。

- Giiovanna

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你可以丢弃不在该区间内的数字，但是这样你的函数就会有一个变量和潜在的无限运行时间。 - jonrsharpe

是的，这就是为什么我想在间隔中生成它，但是我不知道该如何做。 - Giiovanna

如果您能找出一个“L”，使得从您的反向CDF返回的值始终为“0-1”，那么您可以将其用作沿着您的区间的百分比。 - aruisdante

这是不可能的，因为它总会生成参数为L的指数分布的数字。它将在区间（0，无穷大）上。 - Giiovanna

是的，我刚想到了。如果您从分布中得到的值没有被限制，我认为您除了拒绝抽样之外别无选择。除非您能够找出一个“u”界限来限制输出（因为“当u->0时，返回->无穷大”）。 - aruisdante

是的，但这不会生成指数分布的数字，或者我需要进行任何生成指数分布数字的转换，并且它将在（0，无穷大）上。我认为没有有效的解决方案。 - Giiovanna

Answer 1

在限制在 [a,b] 区间内时，结果 x 的概率为 L exp(-Lx)，但是 x 在 [a,b] 内的概率会因 CDF（累积分布函数）在 a 和 b 之间所占的比例缩放增加：从 a 到 b 的积分 ( L exp(-Lt)dt ) = -(exp(-Lb) - exp(-La))。

因此，x 处的概率密度函数为：

L exp(-Lx) / (exp(-La) - exp(-Lb))，

得到 x 处的 CDF 为：

从 a 到 x 的积分 [ L exp(-Lt) / (exp(-La) - exp(-Lb)) dt ]

= [-exp(-Lx) + exp(-La)] / [exp(-La) - exp(-Lb)] = u

现在求反函数：

exp(-Lx) = exp(-La) - u[exp(-La) - exp(-Lb)]

-Lx = -La + log(1 - u[1 - exp(-Lb)/exp(-La)])

x = a - (1/L)log(1 - u[1 - exp(-Lb)/exp(-La)])

给出代码:

u = random.uniform(0,1)
return a + (-1/L)*math.log( 1 - u*(1 - math.exp(-L*b)/math.exp(-L*a)) ) 

注意：对于较大的L或a，math.exp(-L*a)会四舍五入为0，导致ZeroDivisionError。

- honi

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请参考http://www.eg.bucknell.edu/~xmeng/Course/CS6337/Note/master/node50.html中的推导步骤。 - honi

但是，在这种情况下，生成的样本是否仍然服从指数分布（L）？我不明白为什么会这样。 - Giiovanna

谢谢，我会看看能否使用这个来解决我的问题，因为随机数生成器没有按照我的原始分布生成样本。 - Giiovanna

指的是指数分布。顺便说一下，我觉得你在步骤-Lx = -La + log( 1 - u[1 - exp(-Lb)/exp(-La)]) 中犯了一个错误，因为求和的对数不是对数的总和。 - Giiovanna

我将exp(-La)分布出来得到exp(-La)(1 - u[1 - exp(-Lb)/exp(-La)])，然后取了它的对数。一个乘积的对数是各个因子对数的和。 - honi