生成RPG游戏中的随机数

Question

我想知道是否有一种算法可以生成随机数，这些数字大部分时候会在一个从最小值到最大值的范围内较低。例如，如果您使用f(min: 1, max: 100, avg: 30)调用函数，在1到100之间生成随机数时，它应该大部分时间低于30，但如果您使用f(min: 1, max: 200, avg: 10)调用它，则平均值应该是10。很多游戏都这样做，但我无法找到一种使用公式实现此功能的方法。我看到的大多数示例使用“掉落表”或类似的东西。

我已经想出了一种相当简单的方法来加权投掷结果，但效率不高，并且您对其没有太多控制。

var pseudoRand = function(min, max, n) {
    if (n > 0) {
        return pseudoRand(min, Math.random() * (max - min) + min, n - 1)
    }

    return max;
}

rands = []
for (var i = 0; i < 20000; i++) {
    rands.push(pseudoRand(0, 100, 1))
}

avg = rands.reduce(function(x, y) { return x + y } ) / rands.length
console.log(avg); // ~50

该函数简单地在min和max之间随机选择一个数字N次，每次迭代都会使用上次的结果更新max。因此，如果您使用N = 2，max = 100调用它，则必须连续两次掷出100才能返回100。

我查看了维基百科上一些分布，但我不太理解它们如何控制min和max等输出。

欢迎任何帮助。

- chrs

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想要的中位数是什么？ - Dinesh

Answer 1

生成符合特定分布的随机数的简单方法是从列表中选择一个随机数，其中应更频繁发生的数字按所需分布重复。例如，如果创建一个列表[1,1,1,2,2,2,3,3,3,4]，并选择一个0到9的随机索引来从该列表中选择一个元素，则将以90％的概率获得小于4的数字。或者，使用上面示例中的分布，生成数组[2,5,8,9]，并从0到9中选择一个随机整数，如果≤2（这将以30％的概率发生），则返回1，如果> 2且≤5（这也将以30％的概率发生），则返回2，等等。详见：https://softwareengineering.stackexchange.com/a/150618。

- user2314737

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如果您希望结果4仅为每100万个元素一次，那么这将导致非常大的数组。或者呢？ - chrs

@chrs 是的，这不是一个实用的方法，它只适用于小规模的情况。 - user2314737

Answer 2

一个概率分布函数只是一个函数，当您输入一个值X时，它将返回获得该值X的概率。累积分布函数是获得小于或等于X的数字的概率。 CDF是PDF的积分。 CDF几乎总是一对一的函数，因此它几乎总是具有反函数。

要生成PDF，请在x轴上绘制值，在y轴上绘制概率。所有概率的总和（离散）或积分（连续）应加起来为1。找到正确模拟该方程的某个函数。为此，您可能需要查找一些PDF。

基本算法

https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_transform_sampling

这个算法基于反变换抽样。ITS 的背后思想是，你随机选择了一个 CDF 的 y 轴上的值，并找到它所对应的 x 值。这是有道理的，因为一个值被随机选中的可能性越大，在 CDF 的 y 轴上占据的"空间"就越多。

1. 构思概率分布公式。例如，如果希望随着数字变大选择它们的几率增加，可以使用像 f(x)=x 或 f(x)=x^2 这样的公式。如果希望在中间部分凸出，可以使用高斯分布或 1/(1+x^2)。如果要使用有界公式，可以使用贝塔分布或库马拉斯瓦米分布。
2. 对 PDF 进行积分得到累积分布函数。
3. 找到 CDF 的反函数。
4. 生成随机数并将其插入反函数中。
5. 将结果乘以(max-min)，然后加上 min。
6. 将结果四舍五入到最近的整数。

步骤1到3是您必须在游戏中硬编码的内容。任何PDF文件的唯一解决方法是解出对应于其平均值的形状参数，并满足您希望形状参数具有的约束条件。如果您想使用Kumaraswamy分布，您将设置它，使得形状参数a和b始终大于一。

我建议使用Kumaraswamy分布，因为它是有界的，并且具有非常好的封闭形式和封闭形式的逆。它只有两个参数a和b，并且非常灵活，可以模拟许多不同的情况，包括多项式行为、钟形曲线行为和在两端都有峰值的盆地状行为。此外，使用这个函数进行建模并不太难。形状参数b越高，它就越向左倾斜，而形状参数a越高，它就越向右倾斜。如果a和b都小于1，则分布将看起来像槽或盆地。如果a或b等于1，则分布将是一个不会从0到1改变凹度的多项式。如果a和b都等于1，则分布是一条直线。如果a和b大于1，则函数将看起来像钟形曲线。学习这个最好的方法就是实际绘制这些函数或运行Inverse Transform Sampling算法。

https://en.wikipedia.org/wiki/Kumaraswamy_distribution

例如，如果我想要一个从0到100、a=2、b=5的概率分布如此形状的分布：

https://www.wolframalpha.com/input/?i=2*5*x%5E(2-1)*(1-x%5E2)%5E(5-1)+from+x%3D0+to+x%3D1

它的CDF将是：

CDF(x)=1-(1-x^2)^5

它的反函数将是：

CDF^-1(x)=(1-(1-x)^(1/5))^(1/2)

Kumaraswamy分布的一般反函数为： CDF^-1(x)=(1-(1-x)^(1/b))^(1/a)

然后我会生成一个从0到1的数字，将其放入CDF^-1(x)，并将结果乘以100。

优点

• 非常准确
• 连续的，而不是离散的
• 使用一个公式和极少的空间
• 让您对随机性的分布有很大的控制权
• 许多这些公式具有某种反函数的CDF
• 有一些方法来限制两端的函数。例如，Kumaraswamy分布从0到1被限制，因此您只需输入介于零和一之间的浮点数，然后将结果乘以（max-min）并加上min。Beta分布根据传递给它的值而有不同的边界。对于像PDF（x）= x这样的东西，CDF（x）=（x ^ 2）/ 2，因此您可以从CDF（0）到CDF（max-min）生成随机值。

缺点

• 您需要确定计划使用的精确分布及其形状
• 您计划使用的每个通用公式都需要硬编码到游戏中。换句话说，您可以将Kumaraswamy分布编程到游戏中，并拥有一个基于分布及其参数a和b生成随机数的函数，但不能编写一个为您生成分布的函数，该函数基于平均值。如果您想使用Distribution x，则必须找出最适合您要查看的数据的a和b值，并将这些值硬编码到游戏中。

- AlgorithmsX

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这正是我正在寻找的。谢谢。 - chrs

Answer 3

你可以将两个随机过程组合在一起，例如： 第一个随机数 R1 = f(min: 1, max: 20, avg: 10)； 第二个随机数 R2 = f(min: 1, max : 10, avg : 1)； 然后将它们相乘得到的结果在[1-200]之间，并平均值大约为10（平均值会稍微偏移）。

另一种选择是找到想要使用的随机函数的反函数。这个选项必须在程序启动时初始化，但不需要重新计算。这里使用的数学方法可以在许多数学库中找到。我将通过以只有四个点已知的未知随机函数为例逐点解释。

1. 首先，用三次或更高次多项式函数拟合四点曲线。
2. 然后，您将获得类型为：ax + bx^2 + cx^3 + d 的参数化函数。
3. 找到函数的不定积分（积分形式为 a/2x^2+b/3x^3+c/4x^4+dx，我们将其称为“quarticEq”）。
4. 计算多项式从最小值到最大值的积分。
5. 在0-1之间取一个均匀随机数，然后将其乘以步骤5中计算出的积分值（我们称结果为“R”）。
6. 现在解方程 R = quarticEq 以求得x。

希望最后一部分已经很有名了，您应该能够找到一个可以进行此计算的库（参见wiki）。如果集成函数的反函数没有封闭形式的解（例如任何五次或更高次的一般多项式），则可以使用诸如牛顿法之类的根查找方法。

这种计算可以用来创建任何类型的随机分布。

编辑：

您可以在wikipedia中找到上述反变换抽样的描述，我发现了这个实现（我还没有尝试过）。

- Antoine Bergamaschi

Answer 4

我会使用一个简单的数学函数。从你所描述的情况来看，你需要一种指数增长，比如y = x^2。在平均值处（平均值为x=0.5，因为rand可以得到0到1之间的数字），你将得到0.25。如果你想要一个更低的平均数，你可以使用更高的指数，比如y = x^3，这将导致在x = 0.5时y = 0.125。

示例： http://www.meta-calculator.com/online/?panel-102-graph&data-bounds-xMin=-2&data-bounds-xMax=2&data-bounds-yMin=-2&data-bounds-yMax=2&data-equations-0=%22y%3Dx%5E2%22&data-rand=undefined&data-hideGrid=false

PS: 我调整了计算所需指数以获得平均结果的函数。 代码示例：

function expRand (min, max, exponent) {
    return Math.round( Math.pow( Math.random(), exponent) * (max - min) + min);
}

function averageRand (min, max, average) {
    var exponent = Math.log(((average - min) / (max - min))) / Math.log(0.5);
    return expRand(min, max, exponent);
}

alert(averageRand(1, 100, 10));

- Dimitri L.

Answer 5

你可以保持一个运行平均值，根据迄今为止从函数返回的值，在 while 循环中获取下一个满足平均值的随机数，调整运行平均值并返回该数字。

- Jim

Answer 6

有很多方法可以实现，基本上都是从一个右偏（也称为正偏）分布中生成。您没有明确说明您想要整数还是浮点数结果，但是有离散和连续的分布都适合。

其中最简单的选择之一是离散或连续的右三角形分布，但是虽然它会为较大的值提供所需的逐渐减少，但它不会给您独立控制平均值的能力。

另一个选择是截断指数（用于连续型）或几何（用于离散型）分布。您需要进行截断，因为原始指数或几何分布的范围从零到无穷大，因此您必须削减上限尾部。这反过来又需要您进行一些微积分，以找到在截断后产生所需平均值的速率λ。

第三种选择是使用分布的混合物，例如以概率p在较低范围内均匀选择一个数字，在较高范围内以概率(1-p)选择一个数字。总平均值就是p乘以较低范围的平均数加上(1-p)乘以较高范围的平均数，您可以通过调整范围和p的值来拨动所需的总平均数。如果在子范围中使用非均匀分布选项，这种方法也将起作用。这归结于您愿意为导出适当的参数选择付出多少工作量。

- pjs

Answer 7

使用一个掉落表可以实现非常快速的掷骰，这在实时游戏中非常重要。实际上，它只是从一个范围内生成一个随机数，然后根据概率表（该范围的高斯分布）进行多项选择的if语句。就像这样：

num = random.randint(1,100)
if num<10 :
    case 1
if num<20 and num>10 :
    case 2
...

虽然不是很干净，但当你有有限的选择时，它可以非常快速。

- SimaS

Answer 8

一种方法可能不是最精确的方法，但根据您的需求可以被视为“足够好”。

算法是在最小值和滑动最大值之间选择一个数字。有一个保证最大值g_max和一个潜在最大值p_max。您的真实最大值将根据另一个随机调用的结果进行滑动。这将为您提供所寻找的偏斜分布。下面是Python中的解决方案。

import random

def get_roll(min, g_max, p_max)

    max = g_max + (random.random() * (p_max - g_max))

    return random.randint(min, int(max))

get_roll(1, 10, 20)

下面是函数在（1、10、20）处运行了100,000次的直方图。

- user2004245

Answer 9

private int roll(int minRoll, int avgRoll, int maxRoll) {
    // Generating random number #1
    int firstRoll = ThreadLocalRandom.current().nextInt(minRoll, maxRoll + 1);

    // Iterating 3 times will result in the roll being relatively close to
    // the average roll.
    if (firstRoll > avgRoll) {
        // If the first roll is higher than the (set) average roll:
        for (int i = 0; i < 3; i++) {
            int verificationRoll = ThreadLocalRandom.current().nextInt(minRoll, maxRoll + 1);

            if (firstRoll > verificationRoll && verificationRoll >= avgRoll) {
                // If the following condition is met:
                // The iteration-roll is closer to 30 than the first roll
                firstRoll = verificationRoll;
            }
        }
    } else if (firstRoll < avgRoll) {
        // If the first roll is lower than the (set) average roll:
        for (int i = 0; i < 3; i++) {
            int verificationRoll = ThreadLocalRandom.current().nextInt(minRoll, maxRoll + 1);

            if (firstRoll < verificationRoll && verificationRoll <= avgRoll) {
                // If the following condition is met:
                // The iteration-roll is closer to 30 than the first roll
                firstRoll = verificationRoll;
            }
        }
    }
    return firstRoll;
}

解释：

• 掷骰子
• 检查掷出的点数是否高于、低于或等于30
• 如果高于30，则重新掷三次骰子，并根据新的点数设置掷出的点数；如果低于但大于等于30，则重新掷三次骰子，并根据新的点数设置掷出的点数
• 如果低于30，则重新掷三次骰子，并根据新的点数设置掷出的点数；如果高于但小于等于30，则重新掷三次骰子，并根据新的点数设置掷出的点数
• 如果恰好为30，则不重新设置掷出的点数
• 返回掷出的点数

优点：

• 简单易懂
• 有效
• 表现良好

缺点：

• 由于30-70的关系，你自然会得到更多在30-40范围内的结果，而不是在20-30范围内的结果。

测试：

您可以使用以下方法与roll()方法一起进行测试。数据保存在哈希映射中（将数字映射到出现次数的数字）。

public void rollTheD100() {

    int maxNr = 100;
    int minNr = 1;
    int avgNr = 30;

    Map<Integer, Integer> numberOccurenceMap = new HashMap<>();

    // "Initialization" of the map (please don't hit me for calling it initialization)
    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        numberOccurenceMap.put(i, 0);
    }

    // Rolling (100k times)
    for (int i = 0; i < 100000; i++) {
        int dummy = roll(minNr, avgNr, maxNr);
        numberOccurenceMap.put(dummy, numberOccurenceMap.get(dummy) + 1);
    }

    int numberPack = 0;

    for (int i = 1; i <= 100; i++) {
        numberPack = numberPack + numberOccurenceMap.get(i);
        if (i % 10 == 0) {
            System.out.println("<" + i + ": " + numberPack);
            numberPack = 0;
        }
    }
}

结果（100,000次掷骰子）：

结果如预期。请注意，您可以通过修改roll()方法中的迭代次数来微调结果（平均值越接近30，应包含的迭代次数越多（请注意，这可能会在一定程度上影响性能））。还要注意，30是（如预期）出现次数最多的数字。

• <10：4994
• <20：9425
• <30：18184
• <40：29640
• <50：18283
• <60：10426
• <70：5396
• <80：2532
• <90：897
• <100：223

- Seth

Answer 10

尝试这个方法，为平均数以下的数字范围生成一个随机数，并为平均数以上的数字范围生成第二个随机数。

然后随机选择其中一个，每个范围将有50%的概率被选中。

var psuedoRand = function(min, max, avg) {
  var upperRand = (int)(Math.random() * (max - avg) + avg);
  var lowerRand = (int)(Math.random() * (avg - min) + min);

  if (math.random() < 0.5)
    return lowerRand;
  else
    return upperRand;
}

- Luke

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注意：在if语句中增加小数数字“0.5”会增加选择低于“avg”的数字的频率，反之亦然。 - Luke