在二进制、十进制和十六进制中进行浮点数运算

Question

在二进制、十进制和十六进制中进行浮点数运算

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我在阅读我的笔记时发现了以下内容：

For every real number there are various ways of representing
it in such a way. Therefore, computers fix two parameters (so
they do not need to be stored, and arithmetic is more
convenient):

- the base b (normally, it is 2, 10 or 16) and
- the position of the decimal (or binary) point (by normalising
the mantissa such that it satisfies 1/b ≤ m < 1)

Example: Normalised representations for r := 12.25 are,
- for b = 2, r = 1 × 0.110001 × 2^4,
- for b = 10, r = 1 × 0.1225 × 10^2 and,
- for b = 16, r = 1 × 0.C4 × 16^1.

如何计算十进制数12.25的二进制、十进制和十六进制浮点数？我不太确定讲师是如何得出b=2、b=10和b=16的答案的。

- methuselah

2个回答

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我们正在尝试在不进行规范化的情况下，用各种进制来表示数字12.25。

对于二进制：

   12    - > 1100
   0.25  - > .01  (1 * (1/2)^2)
so 12.25   = 1100.01

对于十六进制：

   12    - > C
   0.25  - > .4   (4 * (1/16)^1)
so 12.25   = C.4

然后小数点会随着指数项而移动。希望这能帮到你。我猜这不是一个答案，因为我没有描述任何方法。所以这里有一些关于这个主题的MathForums讨论链接。二进制数的长除法，二进制浮点小数，Dr. Math关于进位的FAQ。我仍在寻找一份好的Base 16浮点除法指南。Base Convert和Digit Convert是可以处理浮点数的在线进制转换器。这些网站使用JavaScript，因此可能可以获得正在使用的算法。

- Nishant Sharma

这太棒了。我现在有点明白了。你是怎么算出0.25的b=10和b=16的呢？ - methuselah

我不明白你的问题，Methusaleh。 - Nishant Sharma

你是在问关于 b=2（二进制）和 b=16（十六进制）的吗？ - Nishant Sharma

如何将十进制数0.25转换为十六进制？ - methuselah

我很难表达这个问题，但小数点后的数字是一个分数的分子，其中分母是基数的幂。所以0.25 = 25/100（十进制）= 1/4 = 4/16 = 0.4（十六进制）。 - Nishant Sharma

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原文链接

- Eric Postpischil · Accepted Answer

从例子中看，你的讲师对“标准化”的定义似乎是将数字表示为+1或-1乘上某个x再乘以基数的整数次幂，其中x是小于1的最大值，使得乘积等于所表示的数字。另外，x用基数中的数字表示。

例如，在二进制中考虑12.25。暂时保持在十进制中，我们可以表示12.25为1×12.25×2⁰或1×6.125×2¹或1×3.0625×2²或1×1.53125×2³或1×.765625×2⁴或1×.3828125×2⁵。在这些中，我们可以看到.765625是符合形式的最大值小于1的值。因此，我们将12.25表示为1×.765625×2⁴。然后我们需要将.765625转换为二进制。

你可能在之前的课程中已经学过了，但我们可以这样做：将.765625乘以2（得到1.53125）并将整数部分（1）与小数部分（.53125）分离。将小数部分乘以2（1.0625）并再次分离（1和.0625）。重复新的小数部分（0和.125）。继续重复直到小数部分为零或者你想要的位数：0和.25、0和.5、1和0。列出你得到的整数：1 1 0 0 0 1。现在，你想要的二进制数是一个点后面跟着这些数字：.110001。因此，在你讲师定义的标准下，12.25在二进制中表示为1×.110001×2⁴。

找到正确的x值的规则可能是这样的：从指数0开始。如果x大于1，请将其除以基数并将指数加1。如果x小于1/base，请将其乘以基数并从指数中减去1。重复此过程，直到x在1/base和1之间（包括1/base但不包括1，因此如果x等于1/base，则停止）。

对于十进制的12.25：从指数0开始。将12.25除以10（得到1.225）并将指数增加1。再次除以(.1225)并将指数增加2。现在我们停止了，因为.1225在1/10和1之间。

对于16进制的12.25：从指数0开始。将12.25除以16（得到.765625）并将指数增加1。现在停止，因为.765625在1/16和1之间。

将 .765625 转换成十六进制：将 .765625 乘以 16 得到整数 12（数字 C）和小数 .25。将 .25 乘以 16 得到整数 4 和小数 0。小数为 0，因此停止。十六进制数是 .C4，因此完整形式为 1×.C4×2¹。

有时候，人们会使用其他“标准化”的定义。通常情况下，我们不是将 x 调整为介于 1/base 和 1 之间，而是调整为介于 1 和 b 之间。