我一直想找到一个能够实现这个功能的算法。我并不在意它有多慢，只要它能返回Pi的第n位数字：
例如：
size_t piAt(long long int n)
{
}
最好不要使用无限级数。
如果有人有在C或C++中实现此功能的函数或类，我非常希望能看到它。
谢谢。
3个回答
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这是由Fabrice Bellard编写的Simon Plouffe的解决方案：
/*
* Computation of the n'th decimal digit of \pi with very little memory.
* Written by Fabrice Bellard on January 8, 1997.
*
* We use a slightly modified version of the method described by Simon
* Plouffe in "On the Computation of the n'th decimal digit of various
* transcendental numbers" (November 1996). We have modified the algorithm
* to get a running time of O(n^2) instead of O(n^3log(n)^3).
*
* This program uses mostly integer arithmetic. It may be slow on some
* hardwares where integer multiplications and divisons must be done
* by software. We have supposed that 'int' has a size of 32 bits. If
* your compiler supports 'long long' integers of 64 bits, you may use
* the integer version of 'mul_mod' (see HAS_LONG_LONG).
*/
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
/* uncomment the following line to use 'long long' integers */
/* #define HAS_LONG_LONG */
#ifdef HAS_LONG_LONG
#define mul_mod(a,b,m) (( (long long) (a) * (long long) (b) ) % (m))
#else
#define mul_mod(a,b,m) fmod( (double) a * (double) b, m)
#endif
/* return the inverse of x mod y */
int inv_mod(int x, int y)
{
int q, u, v, a, c, t;
u = x;
v = y;
c = 1;
a = 0;
do {
q = v / u;
t = c;
c = a - q * c;
a = t;
t = u;
u = v - q * u;
v = t;
} while (u != 0);
a = a % y;
if (a < 0)
a = y + a;
return a;
}
/* return (a^b) mod m */
int pow_mod(int a, int b, int m)
{
int r, aa;
r = 1;
aa = a;
while (1) {
if (b & 1)
r = mul_mod(r, aa, m);
b = b >> 1;
if (b == 0)
break;
aa = mul_mod(aa, aa, m);
}
return r;
}
/* return true if n is prime */
int is_prime(int n)
{
int r, i;
if ((n % 2) == 0)
return 0;
r = (int) (sqrt(n));
for (i = 3; i <= r; i += 2)
if ((n % i) == 0)
return 0;
return 1;
}
/* return the prime number immediatly after n */
int next_prime(int n)
{
do {
n++;
} while (!is_prime(n));
return n;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
int av, a, vmax, N, n, num, den, k, kq, kq2, t, v, s, i;
double sum;
if (argc < 2 || (n = atoi(argv[1])) <= 0) {
printf("This program computes the n'th decimal digit of \\pi\n"
"usage: pi n , where n is the digit you want\n");
exit(1);
}
N = (int) ((n + 20) * log(10) / log(2));
sum = 0;
for (a = 3; a <= (2 * N); a = next_prime(a)) {
vmax = (int) (log(2 * N) / log(a));
av = 1;
for (i = 0; i < vmax; i++)
av = av * a;
s = 0;
num = 1;
den = 1;
v = 0;
kq = 1;
kq2 = 1;
for (k = 1; k <= N; k++) {
t = k;
if (kq >= a) {
do {
t = t / a;
v--;
} while ((t % a) == 0);
kq = 0;
}
kq++;
num = mul_mod(num, t, av);
t = (2 * k - 1);
if (kq2 >= a) {
if (kq2 == a) {
do {
t = t / a;
v++;
} while ((t % a) == 0);
}
kq2 -= a;
}
den = mul_mod(den, t, av);
kq2 += 2;
if (v > 0) {
t = inv_mod(den, av);
t = mul_mod(t, num, av);
t = mul_mod(t, k, av);
for (i = v; i < vmax; i++)
t = mul_mod(t, a, av);
s += t;
if (s >= av)
s -= av;
}
}
t = pow_mod(10, n - 1, av);
s = mul_mod(s, t, av);
sum = fmod(sum + (double) s / (double) av, 1.0);
}
printf("Decimal digits of pi at position %d: %09d\n", n,
(int) (sum * 1e9));
return 0;
}
它可以正常工作：
C:\tcc>tcc -I libtcc libtcc/libtcc.def -run examples/pi.c 1
Decimal digits of pi at position 1: 141592653
C:\tcc>tcc -I libtcc libtcc/libtcc.def -run examples/pi.c 1000
Decimal digits of pi at position 1000: 938095257
- Lehs
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虽然此链接可能回答了问题，但最好在此处包含答案的基本部分并提供参考链接。仅使用链接的答案在链接页面更改时可能会失效。 - AbcAeffchen
这并没有提供问题的答案。如果您想对作者进行批评或请求澄清，请在他们的帖子下留言。 - dario
@AbcAeffchen：我正在努力解决，但是我对这篇论文的理解还无法在我的程序中实现。 - Lehs
@king.code：Milo正在寻求一个能够给出π的第n位小数的函数。这篇论文包含了一个可以实现这一点的算法，这将是编写C程序的第一步。 - Lehs
1它有效！很好的答案。我想测量实现与O(n²)有多接近。 - Niklas Rosencrantz
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这个remarkable solution展示了如何在O(N)时间和O(log·N)空间内计算π的第N个数字，而且不需要计算出所有前面的数字。
哦，它的输出是十六进制的。
如果你不想这么做，你也可以轻松地从shell中实现：
% perl -Mbignum=bpi -wle 'print bpi(20)'
3.1415926535897932385
% perl -Mbignum=bpi -wle 'print bpi(50)'
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751
% perl -Mbignum=bpi -wle 'print bpi(200)'
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303820
% perl -Mbignum=bpi -wle 'print bpi(1000)'
3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306647093844609550582231725359408128481117450284102701938521105559644622948954930381964428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146951941511609433057270365759591953092186117381932611793105118548074462379962749567351885752724891227938183011949129833673362440656643086021394946395224737190702179860943702770539217176293176752384674818467669405132000568127145263560827785771342757789609173637178721468440901224953430146549585371050792279689258923542019956112129021960864034418159813629774771309960518707211349999998372978049951059731732816096318595024459455346908302642522308253344685035261931188171010003137838752886587533208381420617177669147303598253490428755468731159562863882353787593751957781857780532171226806613001927876611195909216420199
- tchrist
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7@Milo：你有关于你正在尝试实现的问题或特定问题吗？这不是writemeaprogram.com。 - Wooble
4@Milo：如果你不理解这个公式，也无法进行编程，那么你就无法从中学到任何东西，但可能有实际需求：也许可以通过从文件中读取圆周率的值来满足你的需求（你可以从互联网上下载这样的文件-例如http://www.piday.org/million.php），并在所感兴趣的位置进行索引？这将节省很多计算时间....;-) - Tony Delroy
4在十六进制中计算第N位数字与在十进制中计算第N位数字非常不同。从一个转换到另一个都需要在时间和空间方面进行非平凡的大O操作！ - R.. GitHub STOP HELPING ICE
1这个答案与OP的问题无关；该链接描述了如何找到第N个16进制数字，而问题暗示了10进制。 - M.M
1每个来到这个页面的人都有一个实际需求，这是唯一的原因。 - Mr. Developerdude
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其中一些解决方案，包括这个，实际上打印从第n位开始的几个数字。
在http://numbers.computation.free.fr/Constants/Algorithms/pidec.cpp有一个很好的（而且比以前的答案快得多）解决方案。
代码只需要将“typedef int64 ModInt;”行修改为“typedef int64_t ModInt;”即可。
gcc pidec.cpp && time echo 20000 | ./a.out
Pidec, direct computation of decimal digits of pi at a given position n.
(http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html for more details)
Enter n : Parameters : M=122, N=7094, M*N+M=872562
Series time : 0.17
Digits of pi after n-th decimal digit : 203856539
Total time: 0.68
real 0m0.691s
user 0m0.678s
sys 0m0.006s
Compilation finished at Wed Feb 3 13:34:48
这是在一台“2015年初”款的MacBook Pro上。
- brucer42
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原文链接
原文链接
int或者unsigned int，而不是一个size_t吗？ - Tom Karzes