如何使用线段树计算数组中逆序对的数量

Question

我知道这个问题可以使用修改后的归并排序来解决，我已经编写了相应的代码。现在我想使用线段树来解决这个问题。基本上，如果我们从右到左遍历数组，那么我们必须计算“有多少值大于当前值”。如何通过线段树实现这一点呢？

我们需要在线段树节点上存储什么类型的信息？

如果可能，请提供代码。

- Namit Rawal

Answer 1

让我用一个例子来逐步解释：

arr      :  4 3 7 1
position :  0 1 2 3

首先，将数组按照 {值，索引} 对降序排列。

arr      :  7 4 3 1
index    :  2 0 1 3
position :  0 1 2 3

从左到右迭代，针对每个元素 arr[i] -

查询每个元素的索引（查询区间[0，arr[i].index]以获取左侧的更大数字计数），并将查询结果放置在输出数组的相应索引上。

在每次查询之后，增加覆盖该索引的相应线段树节点。

这样，我们确保只从0到index-1获取大于arr[i]的数字计数，因为迄今为止仅插入了大于arr[i]的值。

下面C++实现将更有意义。

class SegmentTree {

    vector<int> segmentNode;

public:
    void init(int n) {
        int N = /* 2 * pow(2, ceil(log((double) n / log(2.0)))) - 1 */ 4 * n;
        segmentNode.resize(N, 0);
    }

    void insert(int node, int left, int right, const int indx) {
        if(indx < left or indx > right) {
            return;
        }
        if(left == right and indx == left) {
            segmentNode[node]++;
            return;
        }
        int leftNode = node << 1;
        int rightNode = leftNode | 1;
        int mid = left + (right - left) / 2;

        insert(leftNode, left, mid, indx);
        insert(rightNode, mid + 1, right, indx);

        segmentNode[node] = segmentNode[leftNode] + segmentNode[rightNode];
    }

    int query(int node, int left, int right, const int L, const int R) {
        if(left > R or right < L) {
            return 0;
        }
        if(left >= L and right <= R) {
            return segmentNode[node];
        }

        int leftNode = node << 1;
        int rightNode = leftNode | 1;
        int mid = left + (right - left) / 2;

        return query(leftNode, left, mid, L, R) + query(rightNode, mid + 1, right, L, R);
    }

};

vector<int> countGreater(vector<int>& nums) {
    vector<int> result;
    if(nums.empty()) {
        return result;
    }
    int n = (int)nums.size();
    vector<pair<int, int> > data(n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        data[i] = pair<int, int>(nums[i], i);
    }
    sort(data.begin(), data.end(), greater<pair<int, int> >());
    result.resize(n);
    SegmentTree segmentTree;
    segmentTree.init(n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        result[data[i].second] = segmentTree.query(1, 0, n - 1, 0, data[i].second);
        segmentTree.insert(1, 0, n - 1, data[i].second);
    }
    return result;
}

// Input : 4 3 7 1
// output: 0 1 0 3

这是一个简单的问题，但并不像其他典型的线段树问题那样显而易见。通过纸笔模拟任意输入可以帮助理解。

还有其他使用二叉搜索树、树状数组和归并排序的 O(nlogn) 方法。

- Kaidul

Answer 2

这个问题可以很简单地解决。我们使用大小为n的空段树，使用求和操作。现在从左到右遍历排列的元素。如果一个叶子节点的值是1，就意味着已经访问了这样的元素。当移动到p[i]的第i个元素时，我们将请求计算段树中[p[i],n]的总和：它会计算比p[i]大的左侧元素的数量。最后，在位置p[i]放置一个1。总时间复杂度为O(nlogn)。

- Deepesh Pandey