二次曲线的速度

Question

二次曲线的速度

c++bezier

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我正在编写一款2D游戏，其中有鸟在摄像机空间中。我想让它们飞翔。因此，我生成了3个随机点，第一个点位于左上方，第二个点位于中心底部，第三个点位于右上方。

结果是我得到了一个180度旋转的三角形。

为了沿着曲线路径移动鸟，我有一个参数t，每帧（渲染循环）增加一些增量。

问题在于，在不同的曲线中，鸟的速度不同。如果三角形“宽”（1），它们会更慢，如果它被Y坐标拉伸（2），则速度非常快。

但我想使不同曲线的速度相等。逻辑上说，我必须为每个曲线更改附加到每帧的delta。

我已经尝试这样解决：

通过将2个向量的长度相加：P1P2和P2P3，找到曲线的长度。

然后我定义了虚拟米每帧的速度。以下是一些伪代码：

float pixelsInMeter = 92.f; // One virtual meter equals to this number of pixels
float length = len(P1P2) + len(P2P3)
float speed  = 0.0003f; // m/frame

// (length * speed) / etalon_length
float speedForTheCurve = toPixels( (toMeters(length) * speed) / 1.f);

// ...
// Each frame code:
t += speedForTheCurve;
Vector2 newPos = BezierQuadratic(t, P1, P2, P3);

但是鸟类的速度各不相同，这是什么原因呢？或许有更好的方法。

- Max Frai

你为什么要除以 1.f？这有什么特殊的意义吗？ - Tyler Jandreau

@TylerJandreau 只是为了展示公式。 - Max Frai

你的目标是让鸟以相同的速率飞行吗？还是无论二次贝塞尔曲线的长度如何，你希望它们在相同的时间开始/结束？ - Tyler Jandreau

@TylerJandreau 我希望所有曲线不同的鸟都能以相同的时间飞越它们，对于所有鸟来说时间是相等的。 - Max Frai

@Ockonal：但这意味着它们的速度将取决于曲线的长度，以在恒定的时间内完成它。 - GManNickG

@GManNickG 噢，是的，抱歉。我想要另一种效果：相同的速度，但到达终点的时间不同。 - Max Frai

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- Tyler Jandreau · Accepted Answer

您正在使用的Bezier函数是一个参数化函数，其范围为[0...1]。您正在修改步长，这就是为什么速度会变得疯狂的原因。一般来说，距离d是方程中的因变量，这意味着它们的速度将根据曲线长度而不同。

由于速度是您的因变量，我们将通过计算步长来向量化您的函数。

请查看以下伪代码：

P1 =（x1，y1）

P2 =（x2，y2）

P3 =（x3，y3）

int vec[100][2]

int getPoint(int p1, int p2, float stepSize) {
   return p1 + (p2 - p1)*stepSize;
}

for (float i = 0.0; i < 1.0; i += 0.01 ) {
   int newX = getPoint(getPoint(x1, x2, i), getPoint(x2, x3, i), i);
   int newY = getPoint(getPoint(y1, y2, i), getPoint(y2, y3, i), i);
   vec[iter++][0] = newX;
   vec[iter][1] = newY;
}

您可以通过进行第一差分来获取delta值，但我认为这并不必要。只要你根据步进迭代将所有的鸟移动到适当的距离，它们就会移动不同的距离，但它们的起始和结束轨迹都是相同的。

从您的方程式中，我们可以计算像素增量步长:

int pixelsToMove = toMeter(sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2))/pixelsInMeter;

这段话的意思是：“这将为您提供适当的像素数量以移动鸟。这样它们将以不同的步长移动，但它们的速度将不同。这样说清楚了吗？”

或者，尝试类似于这样的内容（更难）：

获取您选择的三个点的实际二次函数。
在两个 xy 直角坐标之间积分二次函数
将计算出的长度转换为像素或任何您正在使用的单位
获取依赖变量速度，使所有曲线在相同时间结束。

让我们从二次函数开始： y = Ax^2 + Bx + C 其中 A != 0，因此由于您有三个点，您将需要三个方程。使用代数，您可以解决常数： A = (y3 - y2)/((x3 - x2)(x3 - x1)) - (y1 - y2)/((x1 - x2)(x3 - x1)) B = (y1 - y2 + A(x2^2 - x1^2))/(x1 - x2) C = y1 - Ax1^2 - Bx1 然后，您可以使用上面的公式来获得一个闭合弧长。查看此网站，wolfram将为您进行积分，您只需键入即可：

中译英：

二次积分的闭合形式解

现在你已经计算出弧长，将actualArcLength转换为速度或你正在使用的任何单位：

float speedForTheCurve = toPixels( (toMeters(actualArcLength) * speed) / 1.f);