IEEE 754浮点数除法或减法自身计算，是否总是产生相同的值？

Question

除非 IEEE 754 是 NaN、+/-0.0 或 +/-Infinity，否则将其自身相除是否保证结果恰好为 1.0？

同样地，它自己减去自己是否保证结果总是+/-0.0？

- matthias_buehlmann

Answer 1

IEEE 754-2008 4.3章节指出：除非另有说明，每个操作都应当被执行，就好像它首先产生了一个无限精度和无界范围的中间结果，然后根据本条款中的某个属性对该结果进行舍入。当一个中间结果是可表示的时，所有的舍入属性都将其舍入为自身；仅当它不可表示时，才会改变其值。减法和除法的规则在5.4中给出，它们没有针对上述情况做任何特殊说明。

根据3.3规定，在符合标准的任何格式中，零和一是可表示的数字集合。特别地，零可以由具有所有零数字的有效数字表示，而一可以由以1开头并跟着“.000…000”和指数为零的有效数字表示。格式的最小和最大指数被定义为始终包括零(emin为1−emax)，因此零在其中(含)；除非emax小于1，否则不可表示任何数字，即该格式为空且不是实际格式。

由于舍入不会改变可表示的值，而零和一是可表示的，因此将一个有限非零值除以自身总是得到一，从自身减去一个有限值总是得到零。

- Eric Postpischil

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@user1282931：好问题，这是一个很棒的答案。另请参阅：在线 IEEE-754 浮点计算器：https://www.h-schmidt.net/FloatConverter/ - paulsm4

那么这也适用于非规范化的值吗？ - matthias_buehlmann

@user1282931：这些规则适用于所有情况。 - Eric Postpischil

Answer 2

如果使用相同的文字值，将其除以自身并减去，是的，IEEE754要求产生最接近和一致的匹配。

- Swift - Friday Pie

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如果值不是来自于一个字面量而是来自于之前的计算，那怎么办呢？或者你所说的“相同的字面值”是什么意思？ - matthias_buehlmann

@user1282931：有些编程语言不能保证，例如 x+y 总是具有相同的值：一个实现可能在一个地方计算所需格式的精度，但在另一个地方计算额外的精度。在这种情况下，(x+y) - (x+y) 可能是非零的。此外，相同数字的不同文字形式可能会转换为不同的浮点值。例如，在 C 中，4000e3 和 4e6 不需要具有相同的值。这些是编程语言问题，而不是 IEEE 7754 问题。 - Eric Postpischil

是的，但我的意思是，如果使用相同的变量。float foo = ...; float one = foo/foo 这个表达式保证等于1.0f吗？ - matthias_buehlmann

回答你的问题：是的，foo/foo 保证为 "1"，原因如 Eric Postpischil 上面所述。但是，(x+y) - (x+y) 不一定总是 "0"，对于每个编译器都是如此。请阅读本文的最后一节：“IEEE二进制浮点算术标准754的现状讲义”，作者 W. Kahan 教授：https://people.eecs.berkeley.edu/~wkahan/ieee754status/IEEE754.PDF - FoggyDay