(注意：这是一个社区Wiki。)
假设我有一组点xi = {x0，x1，x2，... xn}和相应的函数值fi = f(xi) = {f0，f1，f2，... fn}，其中f(x)通常是未知函数。（在某些情况下，我们可能会提前知道f(x)，但我们想要进行常规处理，因为我们通常事先不知道f(x)。）如何逼近每个点xi处f(x)的导数？也就是说，如何估计每个点xi处dfi == d/dx fi == df(xi)/dx的值？
不幸的是，MATLAB没有一个非常好的通用数值微分例程。部分原因可能是因为选择一个好的例程可能很困难！
那么有哪些方法？存在哪些例程？如何选择特定问题的好例程？
在MATLAB中选择微分方法时有几个考虑因素：
最佳操作方式是什么？
以下是快速且简单的建议，希望能对某些人有所帮助！
1. 您是否拥有一个符号函数或一组点？
2. 您的网格间距是否均匀？
如果你的网格是均匀分布的，你可能会想要使用有限差分方法（参见维基百科上的这里或这里），除非你在使用周期性边界条件（见下文）。这里是解决普通微分方程时在网格上使用有限差分方法的很好的介绍（特别是第9-14张幻灯片）。这些方法通常计算效率高，实现简单，并且该方法的误差可以简单地估计为用于导出方法的Taylor级数截断误差。3. 您的域是否是周期性的？您可以假定周期性边界条件吗？
4. 您需要什么精度水平？您需要在给定的容差范围内计算导数吗？
5. 您是否关心您的导数在与函数定义相同的点上评估？
MATLAB提供了
diff函数来计算相邻数组元素之间的差异。这可以用于通过一阶前向差分（或前向有限差分）方案计算近似导数，但是估计是低阶估计。如MATLAB对diff的文档所述（link），如果您输入长度为N的数组，则它将返回长度为N-1的数组。当您在N个点上使用此方法估计导数时，您只会在N-1个点处得到导数的估计值。（请注意，如果它们按升序排序，则可以在不均匀的网格上使用此方法。）diff方法之外的东西。
6. 您需要计算多个导数阶数吗？
准备就绪的例程
diff函数（链接到文档）计算相邻数组元素之间的粗略导数。MATLAB的gradient例程（链接到文档）是许多目的的绝佳选择。它实现了一个二阶中心差分方案。它具有在多个维度中计算导数和支持任意网格间距的优点。（感谢@thewaywewalk指出这个明显的遗漏！）
我使用Fornberg的方法（见上文）开发了一个小例程（nderiv_fornberg），用于计算任意网格间距下一维有限差分。我发现它很容易使用。它在边界处使用6个点的侧向模板，在内部使用中心化的5点模板。它可在MATLAB文件交换中心 这里获得。
结论
数值微分领域十分广泛。对于上述每种方法，都有许多变体具有自己的优缺点。这篇文章并不是关于数值微分的完整介绍。
每个应用都是不同的。希望这篇文章为感兴趣的读者提供了一个组织良好的考虑因素和资源列表，以选择适合自己需求的方法。
这个社区维基可以通过特定于MATLAB的代码片段和示例进行改进。
gradient 函数是最佳选择之一，但它现在缺失了。 - Robert Seifert我相信这些特定问题还有更多的内容。所以我进一步阐述了以下主题：
(4) 问：您需要什么级别的准确度？您是否需要在给定容差范围内计算导数？
答：数值微分的精度取决于所涉及的应用程序。通常情况下，如果您在正向问题中使用ND来近似导数以从感兴趣的信号中估计特征，则应注意噪声扰动。通常这样的伪像包含高频成分，并且根据不同iator的定义，噪声效应将在$i\omega^n$的数量级上放大。因此，增加不同iator的精度（增加多项式精度）将毫无帮助。在这种情况下，您应该能够取消微分的噪声影响。这可以按级联顺序完成：首先平滑信号，然后微分。但更好的方法是使用“低通微分器”。MATLAB库的一个很好的例子可以在here找到。
然而，如果不是这种情况，而是在逆问题中使用ND，例如求解PDE，则不同iator的全局精度非常重要。根据适合您问题的边界条件（BC）类型，将相应地进行调整。经验法则是增加已知的全带宽差分器的数值精度。您需要设计一个导数矩阵来处理适当的BC。您可以使用上面的链接找到此类设计的综合解决方案。