为什么快速排序降序时比升序慢？

Question

我有快速排序和归并排序的代码，并放置了一个全局计数器变量，该变量在每次迭代（比较）时都会递增。我认为这应该对应于我的粗略渐近分析。对于归并排序，它确实是这样的，但对于快速排序，它却不是。我不明白为什么。我选择输入数组的最后一个元素作为每次迭代的枢轴。我知道这是非最优的，但对于这个讨论来说并不重要。由于我选择了最后一个元素，我希望升序和降序数组都会产生O（n ^ 2）比较。更具体地说，我预计比较次数将是n个选择2，因为在最坏的情况下，您将添加n + n-1 + n-2 + n-3 + .... + 1。但这似乎并没有发生。在输入大小为100,000的情况下，输入按降序排序时，我得到了计数的705,082,704次迭代。对于按升序排序的输入数组，我得到了相同的数字。但是，100,000个选择2约为50亿。为什么会有差异？

对于归并排序，输入为100,000时，我得到了大约160万次迭代，这似乎是正确的。

以下是代码，其中包括我的快速排序实现以及我的计数技术，两者都可能有误，从而导致此差异。否则，我的逻辑可能是错误的，关于这应该需要多少次迭代？

另外，顺便说一句，虽然升序和降序输入数组的比较次数相同，但升序版本要快2-3倍。是什么原因？没有进一步的话，这里是代码。

int counter = 0;
int compare (const void * a, const void * b)
{
    return ( *(int*)a - *(int*)b );
}


int partition(int *array, int low, int high){
  int firsthigh = low;
  int pivot = high;

  for(int i = low; i < high; i++)
  {
    counter++;
    if(array[i] < array[pivot])
    {
      swap(array[i], array[firsthigh]);
      firsthigh++;
    }
  }
  swap(array[pivot],array[firsthigh]);
  return firsthigh;
}

void quicksort(int *array, int low, int high){
  int p;
  if(low < high)
  {
    p = partition(array, low, high);
    quicksort(array, low, p-1);
    quicksort(array,p+1,high);
  }
}

int main(){
  int array[100000];
  for(int i = 0; i < 100000; i++)
    array[i] = i;

  struct timeval start, end;

  for(int i = 0; i < 100000; i++)
    cout << array[i] << " ";

  gettimeofday(&start, NULL);

  //mergesort(array, 0, 99999);
  quicksort(array, 0, 99999);

  gettimeofday(&end, NULL);
  long long time =   (end.tv_sec * (unsigned int)1e6 +   end.tv_usec) -
                     (start.tv_sec * (unsigned int)1e6 + start.tv_usec);

  for(int i = 0; i < 100000; i++)
    cout << array[i] << " ";
  cout << endl;

  cout << endl << endl << time/1000000.0 << endl;
  cout << endl << counter;
}

- ordinary

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顺便说一下，在输出之前不要获取开始时间。这会影响计时的准确性。 - Some programmer dude

你的快速排序是低效的，因为你总是选择high作为你的枢轴（除其他事项外）。尝试随机选择枢轴。 - IVlad

你应该在排序函数调用之前和之后调用 gettimeofday()。你目前还在测量打印数组所需的时间。 - Blastfurnace

不要使用int，你很可能会溢出。实际上，0xFFFFFFFF + 705,082,704约为50亿，这就是你预期的数字。 - Julien Lebosquain

既然您将“low”和“high”索引传递给排序函数，那么正确的参数不应该是“quicksort(array, 0, 99999)”吗？ - Blastfurnace

Answer 1

1. 如果您想计算内部for循环的迭代次数，请使用long long。对于n = 100000，n*(n-1)/2会导致int溢出。如果您想计算交换次数，则应在每次执行交换时递增计数器。

2. 对此进行两个简单的优化：

   • 随机选择中轴点；
   • 通过使用Hoare分区使分区函数更加高效：https://cs.stackexchange.com/questions/11458/quicksort-partitioning-hoare-vs-lomuto

当然还有其他方法，但这应该可以给您一个不错的算法。

- IVlad

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当你说随机选择枢轴时，是指使用 PRNG 库函数来选择枢轴吗？我读过这会增加很多开销。我也读过应该取第一个、中间和最后一个元素并找到中位数，然后将其作为枢轴。这有任何意义吗？ - ordinary

@ordinary：median-of-3和median-of-5是获取“相对”良好的枢轴的方法，不幸的是，它们可能会受到攻击，因为对手可以构建特定的输入，使您选择算法的坏值（因为它们是确定性的）。 PRNG保护您免受任意输入的影响，然后就是在真正好的随机性（密码质量？）或只是一些随机性之间进行选择......有许多具有各种随机性/性能配置文件的PRNG。 - Matthieu M.

@ordinary 是的，我的意思是使用伪随机数生成器。显然，它会增加一些开销，但我不认为它很大。它肯定比任何 O(n^2) 算法要快得多。 - IVlad

或者，你可以在排序开始之前先对数组进行一次洗牌，而不是选择一个随机的主元。 - Bernhard Barker