为什么numeric_limits<float>::min()并不能给出最小的可能float类型数值？

Question

似乎我们可以轻易地得到比numeric_limits<float>::min()更小的浮点数。为什么呢？如果numeric_limits<float>::min()不是最小的正浮点数，那它应该是什么呢？

#include <iostream>
#include <limits>
using namespace std;

int main(){
    float mind = numeric_limits<float>::min();
    float smaller_than_mind = numeric_limits<float>::min()/2;
    cout<< ( mind > smaller_than_mind && smaller_than_mind > 0 ) <<endl;
}

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- mako

Answer 1

min()函数返回浮点数类型的最小正值，它具有格式的完整表达能力——其尾数的所有位都可用。

更小的正值称为亚规格。虽然它们是可表示的，但尾数的高位必须为零。

IEEE-754 64位二进制浮点格式用一个符号（+或-，编码为0或1）、一个指数（-1022到+1023，编码为1到2046，加上0和2047作为特殊情况）和一个53位尾数（用52位编码加上指数字段中的提示）来表示一个数字。

对于正常值，指数字段为1到2046（表示-1022到+1023的指数），而尾数（二进制）为1.xxx…xxx，其中xxx…xxx代表52个更多的位。在所有这些值中，尾数的最低位的值是最高有效位（第一个1）的2^-52倍。

对于亚规格值，指数字段为0。这仍表示-1022的指数，但意味着尾数的高位为0。现在，尾数为0.xxx…xxx。随着在此范围内使用的值越来越小，尾数的更多前导位变为零。现在，尾数的最低位的值大于最高有效位的2^-52倍。在此间隔中，您不能像在正常间隔中一样精细地调整数字，因为并非尾数的所有位都可用于任意值——有些前导位被固定为0以设置比例。

由于这个原因，当处理处于此范围内的数字时，相对误差往往比正常范围内的相对误差更大。浮点格式具有此次正常范围，因为如果没有它，则数字将仅在最小正常值处截断，并且该正常值和零之间的差距将是一个巨大的相对跳跃 - 单步中值的100％。通过包括次正常数，相对误差逐渐增加，而绝对误差从此点开始保持不变，直到达到零。

了解正常范围的底部非常重要。min（）会告诉你这一点。denorm_min（）会告诉你最终的最小正值。

- Eric Postpischil

Answer 2

根据 en.cppreference.com 的说法：

对于具有非规格化形式的浮点类型，min返回最小正规范化值。请注意，这种行为可能出乎意料，特别是与整数类型的min的行为相比较时。 float 是一个具有非规格化形式的类型，关于规格化浮点数的信息，请参考此处。

- George

Answer 3

因为 numeric_limits::min 返回值是 "对于带有次正规数的浮点类型，返回最小的正规化值。" 在某些系统上，你可以将该值除以2，得到一个次正规数（在某些平台上也称为非规范数）。这些数字无法存储float类型的完整精度，但允许存储否则会变成0.0的值。

- 1201ProgramAlarm

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@EricPostpischil 已更新。我已经盯着英特尔文档看了太久了。 - 1201ProgramAlarm