在非方阵矩阵中解决线性方程组

Question

我有一组线性方程式，构成了一个 NxM 矩阵（即非方阵），我需要解决这个问题 - 或者至少试图解决这个问题，以证明该系统无解。（很可能没有解）

据我所知，如果我的矩阵不是方阵（过度或欠定），则无法找到精确解 - 我的想法正确吗？是否有一种方法可以将我的矩阵转换为方阵以计算行列式、应用高斯消元、克莱姆法则等？

值得一提的是，我的未知数系数可能为零，在某些罕见情况下，可能会出现零列或零行。

- DAVco

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据我所理解，如果我的矩阵不是方阵（过度或欠定），那么无法找到精确解- 我的想法正确吗？ 考虑2x + 3y = 0; 4x + 6y = 0; 6x + 9y = 0。 - Don Larynx

我建议关闭此问题，因为它是一个数学问题，应该发在其他的SE网站上。 - Dan Is Fiddling By Firelight

我认为这个问题应该被关闭，因为它不属于讨论范围。 - EJoshuaS - Stand with Ukraine

Answer 1

无论矩阵是否方阵并不决定解空间，而是矩阵的秩与列数之比决定了解空间（详见秩-零度定理）。一般情况下，线性方程组可能有零个、一个或无穷多个解，这取决于其秩和零度之间的关系。

然而，您可以使用高斯消元法来找到矩阵的秩，如果这表明存在解，则找到特定解x0和矩阵的零空间Null(A)。然后，您可以将所有解描述为x = x0 + xn，其中xn表示Null(A)中的任何元素。例如，如果矩阵具有完全秩，则其零空间为空且线性系统最多有一个解。如果它的秩也等于行数，则有一个唯一解。如果零空间的维数为一，则您的解将是通过x0的一条直线，该直线上任何满足线性方程的点都是解。

- vlsd

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由于这是一个计算网站，因此值得指出的是，在高斯消元中应该使用完全主元选取，以使您的方法对舍入误差具有抵抗力。 - Michael Anderson

Answer 2

首先，一个非方程组可以有一个精确的解决方案。

[ 1 0 0 ][x] = [1]
[ 0 0 1 ][y]   [1]
         [z] 

显然有一个解决方案（实际上，它有一个一维解决方案：x=z=1）。即使系统是过度确定而不是欠定的，它仍然可能有一个解决方案：

[ 1 0 ][x] = [1]
[ 0 1 ][y]   [1]
[ 1 1 ]      [2]

(x=y=1). 你可能需要先了解最小二乘解法，它可以找到确切的解决方案（如果存在），并且在没有确切解决方案的情况下，可以找到“最佳”的近似解决方案（在某种意义上）。

- Stephen Canon

Answer 3

使用Ax=b，其中A具有m列和n行。我们不能保证只有一个解，这在许多情况下是因为我们拥有的方程数比未知数多（m大于n）。这可能是由于重复测量，我们实际上希望这样做，因为我们谨慎考虑噪声的影响。

如果我们观察到我们找不到一个解决方案，那实际上意味着我们无法通过在A张成的列空间中移动来找到b。（因为x仅取列的组合）。

然而，我们可以要求在A张成的空间中最接近b的点。我们如何找到这样的点？在平面上行走，最接近平面外部的点就是一直走直到你在正下方。从几何上讲，这是当我们的视轴垂直于平面时。

现在我们可以对此进行数学公式化。垂直向量使我们想起正交投影。这就是我们要做的。最简单的情况告诉我们要做a.T b。但我们可以采用整个矩阵A.T b。

对于我们的方程式，让我们将变换应用于双侧：A.T Ax = A.T b。 最后一步是通过取A.T A的逆来解决x：

x = (A.T A)^-1 * A.T b

- 0-_-0

Answer 4

最小二乘法推荐是非常好的。

我要补充说，你可以尝试奇异值分解（SVD），它将给出最佳答案，并免费提供有关零空间的信息。

- duffymo