如何通过已知半径和圆心计算圆上的一个点

Question

如何通过已知半径和圆心计算圆上的一个点

4

我有一个复杂的问题，它涉及到我不太自信的数学理解。一些背景可能会有所帮助。我正在为儿童构建一个3D火车模拟器，并使用WebGL在浏览器中运行。我试图创建一个点网络来放置轨道资产（见图像）并为火车提供移动参考。为了帮助解释我的问题，我创建了一个可视化表示，因为我是一个可以编写脚本而不是程序员或数学家的设计师：

基本上，我有3个形状（图A、B和C），尽管它们有宽度，但可以表示为直线（A）和曲线（B和C）。曲线B和C是从A派生（弯曲修改）的，因此长度都相同（l），即112。曲线（B和C）的半径（r）分别为285.5，它们被弯曲的角度（a）为22.5°。

每个形状（A、B和C）都有一个注册点（起始点），由它们各自附加的绿色框的中心所示。

我要做的是创建一个以0,0为起点的“轨道”网络（使用标准笛卡尔坐标系）。

我的问题是在曲线之后放置下一个元素的位置。如果是直线轨道，那么没有问题，因为我可以使用长度作为沿y轴的恒定偏移量，但那会很无聊，所以我需要添加曲线。

D图演示了可能的轨道布局示例，但请理解，我不是在寻找静态答案（基于图像中所有位置的位置），我需要一个公式，无论如何配置轨道都可以应用。

使用D图，我尝试计算第一个弯曲元素之后放置第二个弯曲元素的位置。我使用绘制圆的周长点的公式，给出其圆心坐标和半径（E图）。

我将点1设置为直线的长度（y位置）。我可以轻松地计算出圆的中心，因为那只是偏移y位置、半径（r）的偏移量（x位置）和角度（a），它总是22.5°（顺便说一下，按照公式要求将其转换为弧度）。

通过公式传递值后，我没有得到正确的结果，因为该公式假设我是逆时针从3点钟开始工作，因此我必须从（a）中扣除180并将其转换为弧度才能得到预期的结果。

那确实起作用，如果我想创建一个180°的轨道曲线，我可以使用相同的中心点，并每次从角度中减去22.5°。太好了。但我想要一个更动态的轨道布局，就像D和E图一样。

那么，如何处理图E的第5个点呢？因为它代表了该曲线段的中心点。我完全不知道该怎么做。

另外，作为一个额外的问题，这样做是正确的吗？还是我把事情搞复杂了？

这个问题是阻止我制作游戏的唯一问题，正如您所理解的那样，这是一个相当大的问题，所以提前感谢任何人对此的贡献。

- jayfield1979

看起来你把事情复杂化了。也许你应该研究一下样条曲线。这是一种数学技术，可以将长路径分成几个较小的函数。因此，在这个例子中，你不需要处理圆形。你只需沿着从原点开始的直线路径行进。然后，你会沿着由函数定义的曲线路径行进（而不是这段圆弧的东西，这只会让你头疼）。每个片段都从前一个片段结束的地方开始，并且每个片段的曲率应该是自包含的。希望这有所帮助。 - bigbenbt

2个回答

0

点5与3和2等距离，但方向相反。

- Ignacio Vazquez-Abrams

在我贴出的静态示例中（轨道配置A B C），是的，但我的轨道布局会有所不同。虽然这给了我一个想法。我会回复你的。 - jayfield1979

网页内容由stack overflow 提供, 点击上面的

可以查看英文原文，
原文链接

- Chris Johnson · Accepted Answer

当您构建轨道时，下一段待放置的轨道位置需要相对于当前轨道末端的位置和方向。我会存储一个(x,y)位置和一个角度a来表示当前点（其中x、y从0开始，a从pi/2弧度开始，这对应于“逆时针从3点钟方向”系统中的直线向上）。然后进行构造。

fx = cos(a);
fy = sin(a);
lx = -sin(a);
ly = cos(a);

这段文字涉及到IT技术，讲述了“前进”和“向左”的向量相对于我们当前面向方向的x和y分量。如果我们想向前移动一个单位，我们需要将(x,y)增加(fx,fy)。

在您的情况下，放置直线轨道的规则如下：

x=x+112*fx
y=y+112*fy

放置曲线的规则稍微复杂一些。对于向右转弯的曲线，我们需要向前移动112*sin(22.5°)，然后向右侧步移动112*(1-cos(22.5°)，最后顺时针旋转22.5°。在代码中，

x=x+285.206*sin(22.5*pi/180)*fx // Move forward
y=y+285.206*sin(22.5*pi/180)*fy

x=x+285.206*(1-cos(22.5*pi/180))*(-lx) // Side-step right
y=y+285.206*(1-cos(22.5*pi/180))*(-ly)

a=a-22.5*pi/180 // Turn to face new direction

向左转就像向右转一样，只是角度为负。

要放置后续的轨道块，只需再次运行此过程，使用现在更新的a值计算fx，fy，lx和ly，然后根据下一个轨道块的类型递增x和y。

还有一点需要考虑；根据我的经验，使用这些轨道块构建形成封闭环路的轨道通常可以按照90°转弯或对称布局来进行。但是，很容易制作出不能完全连接的轨道，而且不明显如何修改它们以使其连接。如果您的程序允许儿童设计自己的布局，则需要记住这一点。