两条直线交点公式

Question

如何找到线1和线2相交的点，如果两条线都由x、y、alpha定义，其中x、y是线上一点的坐标，alpha是线与x=const之间的角度？

我尝试应用正弦定理，但会得到两个答案（可以在线的两侧建立三角形）。我可以检查哪个点与其中一个点形成正确的斜率，但这很麻烦。

我可以切换到y=ax+b表示，但然后我必须担心特殊情况。垂直和水平线应该有所不同，以避免在1/sin(alpha)和1/cos(alpha)情况下除以零。

我不是在寻找某种语言的实现，只是一个公式。

这些问题并不相关，因为它们涉及有限的线段，而不是线。

- Stepan

Answer 1

假设line 1由[x1，y1]和alpha1定义，line 2由[x2，y2]和alpha2定义。

假设k1 = tan(alpha1)和k2 = tan(alpha2)。

那么交点的x坐标公式为：

x = (y2 - y1 + k1 * x1 - k2 * x2) / (k1 - k2)

注意：函数tan在角度为 pi / 2 + k * pi（其中k是任意整数）时未定义，因此：

如果k1未定义，则x = x1且y = y2 + k2 * (x1 - x2)；

如果k2未定义，则x = x2且y = y1 + k1 * (x2 - x1)；

（两者实际上是相同的，只是指数1 <-> 2交换）。

- MarianD

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有没有办法避免检查if(aplha1!=pi/2)？角度保证不同，但其中一个可能是pi/2，导致tan(pi/2)出现除零错误。 - undefined

非常感谢您对这个特殊情况的警告，我已经扩展了我的答案以包含它。 - undefined

Answer 2

对于一条直线的方程式Y = aX + b，你可以计算a = tan(alpha)。

因此如果将line1定义为x、y和alpha，方程式为Y = tan(alpha) * X + b。

现在要找到b，你需要线上的一个点。该点具有坐标(x, y)。

y = ax + b

b = y - ax

因此，您的线方程为：

Y = tan(alpha) * X + (y - tan(alpha) * x)

现在您只需解决线的方程：

Y = a1 * X + b1

Y = a2 * X + b2

即：

a1 * X + b1 = a2 * X + b2

(a1 - a2) * X = b2 - b1

X = (b2 - b1) / (a1 - a2)

现在你也可以计算Y了。

因此，如果我们替换，我们获得：

X = ((y2 - tan(alpha2) * x2) - (y1 - tan(alpha1) * x1)) / (tan(alpha1) - tan(alpha2)

简化：

X = (y2 - y1 - tan(alpha2) * x2 + tan(alpha1) * x1)) / (tan(alpha1) - tan(alpha2)

然后：

Y = tan(alpha1) * X + (y - tan(alpha1) * x

- Ludonope

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同样的问题适用于垂直线，tan(90) = 无穷大的情况下会怎样？ - undefined

你需要在进行数学计算之前进行检查。 - undefined

如果你使用这种方法，那就没有其他选择了（可能还有其他方法不需要进行检查）。 - undefined