在三次样条插值中计算矩阵

Question

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我理解了全部内容，但是不知道如何获取矩阵的值：

我知道有一些类似于hi = hi+1 - hi的东西。

我访问了几个网站，阅读了不同的解释，但我从未找到如何确切地在矩阵中得出这些值。

- zer0kai

我猜你想知道它们是如何从[2.127]到[2.128]的，这意味着：如何解决M.X = V，其中M是一个维度为n的方阵，X和V是维度为n的向量？ - yaitloutou

我想知道他们如何获取矩阵M的值。 - zer0kai

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然后，您需要编辑您的问题，并包含更多细节。顺便说一句，我认为这个问题更适合http://math.stackexchange.com。 - yaitloutou

我在我的问题中提到了两次，我需要知道如何准确地获取矩阵的值。问题出在哪里？ - zer0kai

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没问题 :) 我正在努力理解您的需求，以便给出更好的答案。由于您的问题与编程无关，因此它在这里是离题的。所以，我建议您去其他地方寻找更多答案。 - yaitloutou

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1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- Spektre · Accepted Answer

矩阵只是编码为矩阵的方程组，因此可以通过逆矩阵轻松计算。

例如，矩阵的第二行(8,4,2,1,0,0,0,0)在矩阵乘法后表示如下：

a3.2^3+a2.1^2+a1.2^1+a0=5

你的 p1(2)=5，对应的代码行为：

p1(1)=1
p1(2)=5
p2(2)=5
p2(3)=4
p1'(2)-p2'(2)=0
p1''(2)-p2''(2)=0
p1''(1)=0
p2''(3)=0

例如，矩阵的最后一行 (0,0,0,0,18,2,0,0) 是这样的：

b3.18 + b2.2 = 0

如果我们对p2(t)进行二阶导数求导

p2(t) = b3.t^3 + b2.t^2 + b1.t + b0
p2'(t) = 3.b3.t^2 + 2.b2.t + b1
p2''(t) = 2.3.b3.t + 1.2.b2  = 6.b3.t + 2.b2

现在对于t=3，我们得到：

p2''(3) = 6.b3.3 + 2.b2 = 18.b3 + 2.b2

并编码为矩阵（最后一行）

(0,0,0,0,18,2,0,0) * ( a3,a2,a1,a0,b3,b2,b1,b0) = 0

希望我的解释能够匹配您的例子并且更清晰易懂。需要注意的是，您的示例只适用于y轴，因为您有二维曲线，您需要以同样的方式再次对x轴进行操作。

现在让我们重新书写矩阵方程：

M*A=B

如果您有一个8x8矩阵M，以及两个向量A=(a3,a2,a1,a0,b3,b2,b1,b0)和B=(1,5,5,4,0,0,0,0)，则可以按照以下方式解决此问题：

inverse(M)*M*A = inverse(M)*B
             A = inverse(M)*B

所以你获得了 A，其中包含了你的 p1，p2 多项式系数，对于 B，它包含了你的位置（在一次传递中为 y 坐标，在下一次传递中为 x 坐标），因此你得到了 p1x，p1y，p2x，p2y 多项式。这就是你需要进行插值的内容。

然而，这种方法有点过时了，通常使用预定义的多项式形式，如 SPLINE、BEZIER，具有定义好的属性，如连续性、线性等（无需进行逆矩阵运算）。但如果你需要像这个例子中那样的自定义属性，那么你就没有太多选择。