3D几何学：如何插值矩阵

Question

我在一个4x4的变换矩阵中存储了一个物体在3D空间中的位置。现在，为了将物体从矩阵A中存储的位置移动到矩阵B中存储的位置，我想要对它们进行插值。

那么我只需要插值矩阵中的16个值吗？或者我需要特别注意些什么吗？

谢谢！

- clamp

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你如何在变换矩阵中存储物体的“位置”？这是相机吗？需要更多信息。 - Jacob

Answer 1

请查看Ken Shoemake和Tom Duff的《矩阵动画和极分解》。 基本思路是将变换矩阵分解为有意义的组件，如拉伸、旋转和平移，然后进行插值。

- brainjam

Answer 2

如果您对矩阵的所有16个条目进行插值，结果会看起来很奇怪，因为插值后的矩阵不是刚性变换（您将得到倾斜和体积变形）。正确的做法是分离平移和旋转/缩放，得到一个平移向量T和一个3x3旋转矩阵R（这仅适用于原始4x4表示刚性变换的情况）。然后对3x3 R=Q'DQ（勾号表示转置）进行特征值分解，得到一个正交Q和对角缩放D。现在线性插值T和D，同时slerp Q的列，然后重新组合矩阵。

- Victor Liu

Answer 3

让我重新表述您的问题:

您需要在R0和R1之间进行插值。

并且提议使用以下方式进行：

Ri = aR0 + (1-a)R1

这样做效果不好，正如Victor在他/她的回答中所提到的：您将得到扭曲和体积变形。

在数学上（在3D几何上下文中），加法没有太多意义：将两个平移矩阵相加意味着什么？

一个已经建立的解决方案是按以下方式进行插值：

Ri = (R1*(inverse(R0)))^a*R0

其中我们将R^a定义为一种操作，它使我们绕向量[kx，ky，kz]旋转a * theta度。

因此当a = 0时，Ri = R0; 当a = 1时，Ri = R1。这使得基于乘法的插值更自然地适用于3D几何上下文。

现在的难点是如何表示操作R^a。事实证明，使用R的四元数表示允许我们表示操作R^a。基于Ken Shoemake的论文用四元数曲线动画旋转。

- Helin Wang

Answer 4

仅仅对矩阵值进行插值可能不能满足您的要求，除非您只进行非常简单的变换（例如平移或缩放）。

我认为有一些方法可以将矩阵分解为平移、旋转、缩放等，并且然后您可以基于这些参数构建新的矩阵进行插值。

您也可以进行转换前后的变换，然后线性插值对象的顶点。但是这种方法可能也无法满足您的需求。

- tfinniga

Answer 5

我假设你的问题是这样的：你有一个对象x，你对它应用了一个线性变换A得到了Ax，现在你想将它转换成另一个变换B所得到的位置，即从Ax转换到Bx。

假设A是可逆矩阵，只需应用BA^-1即可得到BA^-1(Ax)=Bx [编辑]由于你提到了移动，你可能是在谈论一个仿射变换（线性变换后跟随一个平移）。如果是这种情况，你要将Ax + C移动到Bx + D。

为此，需要减去C（即将对象移动到原点），应用BA^-1，然后添加D：
(BA^-1((Ax + C) - C)) + D = Bx + D

- BlueRaja - Danny Pflughoeft

Answer 6

在WebKit项目中可以找到用于转换矩阵插值的源代码，该代码具有没有限制的许可证。请查看名为'blend'的函数，它们用于创建插值矩阵：

用于通用4 x 4矩阵

用于2D图形中使用的六元素仿射变换

所有文件，包括头文件，都可以在所属目录找到。

但是我刚刚尝试了二维仿射代码，发现在旋转之间进行插值时无法保留旋转中心。所以现在我不太确定它是否有用。

- Graham Asher