变换序列：投影纹理（HLSL）

Question

当我阅读nvidia上的关于投影纹理（9.3.2）的文章this article on Projective Texturing (9.3.2)时，我看到了这张图片：

_{(来源：nvidia.com)}

我对转换的顺序感到困惑。这是因为我学习矩阵乘法是从左到右阅读，并且我认为变换的顺序应该按照以下顺序进行：

_{(来源：nvidia.com)}

现在我的问题如下：

矩阵乘法不满足交换律，那么我应该按什么顺序进行乘法运算？

如果确实是与正常对象的变换序列相同的顺序，为什么要这样书写？

所谓的相同顺序指的是类似于这个 hlsl 代码：

float4 worldPosition        = mul(input.Position, World);
float4 viewPosition         = mul(worldPosition, View);
output.Position             = mul(viewPosition, Projection);

最后（这是可选的，但对于其他想知道相同内容的人可能会有用），您将如何编写HLSL代码以执行此投影纹理乘法，或者如果通过XNA传递完整矩阵，则将如何进行转换。

- Alexander van der Zalm

Answer 1

您的变换可以用符号表示为

y = T P V W x

其中：

x = (x0, y0, z0, w0)^T：对象坐标（列向量4x1）
y = (s, t, r, q)^T：窗口空间坐标（列向量4x1）
W：世界建模矩阵（4x4）
V：视图建模矩阵（4x4）
P：投影矩阵（4x4）
T：视口变换矩阵（4x4）

计算方法如下：

y = T (P (V (W x)))

即从右到左。HLSL 代码应该是：

float4 worldPosition  = mul(World, input.Position);     // W x
float4 viewPosition   = mul(View, worldPosition);       // V (W x)
float4 projPosition   = mul(Projection, viewPosition);  // P (V (W x))
float4 vportPosition  = mul(Viewport, projPosition);    // T (P (V (W x)))

- Jiri Kriz

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谢谢你的回答。我想这就是投影纹理的转换，就像文章中的图像一样。我还有两个问题：

• y = T (P (V (W x))) 是否等同于 (x W) V) P) T = y？

- Alexander van der Zalm

设 y = T P V W，x = T (P (V (W x)))。将 x 的转置表示为 xt（列向量 4x1 变成行向量 1x4，4x4 矩阵在对角线处反射）。则 yt = (TPVWx)t = xt Wt Vt Pt Tt = (((xt Wt) Vt) Pt) Tt。 - Jiri Kriz

我评论的另一部分是：（由于意外无法编辑我的帖子）我感到困惑的原因是因为文章提到：oPosition = Mul(modelViewProj, position);而在HLSL代码中之前则是相反的。

• 如果不是这样，为什么要这样写，几何上是否意味着与（x W）V）P）T = y 不同的东西？还是说这是某种数学约定，有时从右到左书写/阅读？HLSL编译器是否知道这两种符号表示法之间的区别？

- Alexander van der Zalm

当你解释矩阵变换的4x1和1x4（转置）版本之间的区别时，我有了灵光一现的时刻。所以为了完全清楚：如果要使转置版的一系列矩阵乘法与非转置版的矩阵乘法相同，必须按相反的顺序编写它们吗？谢谢！ - Alexander van der Zalm

我的最后一个问题是，当它是float4时，hlsl编译器如何知道你是指x = 4x1还是1x4？ - Alexander van der Zalm

(a) 操作 y = TPVWx 和 yt = xt Wt Vt Pt Tt 是等价的。我更喜欢使用数学中通常的 y = TPVWx。 (b) HLSL编译器可以推断正确的操作，因为在任何 mul(A,B) 中，矩阵 A 和 B 的内部维度必须相等。参见例如 link。 - Jiri Kriz