现在出现了我的问题： 是否有一个函数可以解决数字具有相同数量的0和1？ 我想这更像是一个逻辑函数，我不想迭代所有数字或使用正则表达式（那比迭代还糟糕）。
**另一个问题是这些“平衡”值之间的增长和空间？
c=0; while (n &= (n-1)) c++;
虽然这个方法可以完成任务，但会破坏n的值。
请参考此链接获取更好的算法，或者搜索“popcount”。
如果我理解你说的话是正确的，那么你想要的只是 p = nCr，其中 r = n/2。所以：
p = n! / ((n/2)! * (n/2)!)
可以通过想象你沿着路径选择的方式（即在2n次中选择向上走n次）来直接找到平衡值。
因此，有C(2n,n)个这些值，即2n! / (n! * n!)。当然，总值的数量是2^2n。使用斯特林逼近公式，我们得到
ln n! ~= n ln n - n + ln(2*pi*n)/2
ln 2n!/(n!*n!) = ln(2n!) - 2*ln(n!) ~= 2n*ln(2) - n + ln(4*pi*n)/2 - ln(2*pi*n)
这样好的值的比例，C(2n,n)/2^(2n) 是
exp(2n*ln(2) - n + ln(4*pi*n)/2 - ln(2*pi*n) - 2n*ln(2)) =
exp(-n)/sqrt(pi*n)
因此，好值的数量呈指数级下降。
这就是为什么直接挑选它们而不是测试是明智的。
但是，如果你真的想要测试，有各种位计数方法在这里。 （Kernighan的方法可能是最快的 - 请注意，他并不是第一个注意到它的人，并且等效算法已经发布在这里！）
对于偶数的'i'，在2^i和2^(i-1)之间相等的数字（1和0）的数量由以下公式给出：
(i-1)!/[x! * (x-1)!]
其中x=i/2。
我尝试用C语言编写程序来生成这个公式，但它溢出了。然后我使用浮点运算进行了计算。直到i=56为止，一切都很好。之后精度会降低。
但是BigInt库应该能够在不溢出的情况下完成此任务。