在Sage上实现RDSA

Question

首先，我必须说我的Sage math使用知识非常有限，但我真的想提高并能够解决我遇到的问题。我被要求实现以下内容：

1 - 阅读FIPS 186-4（http://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.186-4.pdf）中ECDSA的定义，并使用Sage math实现：

  (a) prime eliptic curves (P-xxx)

  (b) binary eliptic curves (B-xxx)

我尝试通过在互联网上搜索很多来解决(a)，最终得到了以下代码：

练习1，a）

class ECDSA_a:

def __init__(self):
    #Parameters for Curve p-256 as stated on FIPS 186-4 D1.2.3
    p256 = 115792089210356248762697446949407573530086143415290314195533631308867097853951
    a256 = p256 - 3
    b256 = ZZ("5ac635d8aa3a93e7b3ebbd55769886bc651d06b0cc53b0f63bce3c3e27d2604b", 16)
    ## base point values
    gx = ZZ("6b17d1f2e12c4247f8bce6e563a440f277037d812deb33a0f4a13945d898c296", 16)
    gy = ZZ("4fe342e2fe1a7f9b8ee7eb4a7c0f9e162bce33576b315ececbb6406837bf51f5", 16)

    self.F = GF(p256)
    self.C = EllipticCurve ([self.F(a256), self.F(b256)])
    self.G = self.C(self.F(gx), self.F(gy))

    self.N = FiniteField (self.C.order()) # how many points are in our curve

    self.d = int(self.F.random_element()) # privateKey
    self.pd = self.G*self.d               # our pubkey
    self.e = int(self.N.random_element()) # our message

#sign
def sign(self):
    self.k = self.N.random_element()
    self.r = (int(self.k)*self.G).xy()[0]
    self.s = (1/self.k)*(self.e+self.N(self.r)*self.d)

#verify
def verify(self):
    self.w = 1/self.N(self.s)
    return self.r == (int(self.w*self.e)*self.G + int(self.N(self.r)*self.w)*self.pd).xy()[0]

#mutate
def mutate(self):
    s2 = self.N(self.s)*self.N(-1)
    if not (s2 != self.s) : return False
    self.w = 1/s2
    return self.r == (int(self.w*self.e)*self.G + int(self.N(self.r)*self.w)*self.pd).xy()[0]  # sign flip mutant

#TESTING
#Exercise 1 a)
print("Exercise 1 a)\n")

print("Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 -3x +b256*(mod p256)\n")
E = ECDSA_a()
E.sign()
print("Verify signature  = {}".format(E.verify()))
print("Mutating          = {}".format(E.mutate()))

但是我现在想知道，这段代码真的是我被要求做的吗？

我的意思是，我从上面提到的链接中得到了 p 的值等等。

但是这个 椭圆曲线 是质数吗？（不管那是什么意思）

换句话说，我拼凑在一起的代码就是答案吗？而变异函数实际上是在做什么？我理解其他部分，但不明白为什么需要它...

另外，对于问题（b），我该怎么办？我在互联网上找了很多关于sage中二进制椭圆曲线的资料，但没有一个能让我理解的提及...

我能否重用以上代码并简单更改曲线创建以获得答案？

- sharp_c-tudent

Answer 1

(a.) 这段代码真的是我所要求的吗？

不是。 sign() 方法签名错误：它不接受签名参数。

根据已经发布的测试向量编写单元测试会非常有帮助，例如 这些，参考此 Secp256k1 ECDSA 测试示例 问题。

您可以考虑执行 D.5 和 D.6 (pp 109 ff) 中描述的验证方法。

(b.) 二进制椭圆曲线

你引用的 FIPS 出版物提供了一些关于实现这些曲线的建议，而且你确实可以利用你当前的代码。但是，与 P-xxx 曲线相比，实现它们可能没有那么多实际优势，因为 B-xxx 曲线的强度基础不太稳定。它们对于 FPGA 等硬件实现具有优势，但这与你的情况无关。

- J_H