使用R语言（积分）计算三平面切割的球体部分的体积

Question

使用R语言（积分）计算三平面切割的球体部分的体积

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我想计算一个球的一部分的体积(V)，这个球是由三个平面(x=0，y=0和z=1.5)与球体相交而成的。我正在使用R语言编程，以下是我的代码。我尝试了两种不同的方法，使用笛卡尔坐标和极坐标。但它们都得出了负数。

##  Compute the Volume between 3 planes x=0, y=0 and z=1.5 and a sphere
library("pracma", lib.loc="~/R/win-library/3.1")
f <- function(x, y)  (sqrt(4 -x^2 - y^2) - 1.5 ) # here the function(x,y)  is subtracted with -1.5 which represents the plane z=1.5 
xmin <- 0
xmax <- 2
ymin <- 0 
ymax <- function(x) (sqrt(4 - x^2))
I <- integral2(f, xmin, xmax, ymin, ymax)
I$Q   # Integral over sector is not so exact

# Exact Volume from AutoCAD V=0.3600



##  Volume of the sphere: use polar coordinates
f0 <- function(x, y) (sqrt(4 - x^2 - y^2)-1.5)  # for x^2 + y^2 <= 4 the f(x,y) means z changes between zmin=1 and zmax= sqrt(4-x^2-y^2)
fp <- function(t, r) r * f0(r*cos(t), r*sin(t))
quad2d(fp, 0, pi/2, 0, 2, n = 101)  # -0.523597

正确答案是 V= 0.3600 。请问有人可以给我提示吗？

谢谢。

- Mohamad Reza Salehi Sadaghiani

2个回答

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我已经解决了半径为2的球体以及球壳与三个平面x=1，y=1和z=1之间的相交体积。

##  Compute the Volume between 3 planes x=1.0, y=1.0 and z=1.0 and a sphere
library(pracma)
f <- function(x, y)  (sqrt(4 -x^2 - y^2) - 1 ) # here the function(x,y) is  subtracted with -1.5 which represents the plane z=1.5 
xmin <- 1
xmax <- sqrt(2)
ymin <- 1 
ymax <- function(x) (sqrt(3 - x^2))
I <- integral2(f, xmin, xmax, ymin, ymax)
I$Q   # 
# [1] 0.01520549
# Exact Volume from AutoCAD: 0.0152

- Mohamad Reza Salehi Sadaghiani

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可以查看英文原文，
原文链接

- Miff · Accepted Answer

您的X-Y积分区域覆盖了f(x,y)-1.5为负数和正数的区域。您的球体与线z=1.5的交点是半径为sqrt(7/4)（使用勾股定理）的圆，因此请适当调整您的限制：

library(pracma)
f <- function(x, y)  (sqrt(4 -x^2 - y^2) - 1.5 ) # here the function(x,y)  is subtracted with -1.5 which represents the plane z=1.5 
xmin <- 0
xmax <- sqrt(7/4)
ymin <- 0 
ymax <- function(x) (sqrt(7/4 - x^2))
I <- integral2(f, xmin, xmax, ymin, ymax)
I$Q   # Integral over sector is not so exact
# [1] 0.3599741

非常接近您的期望。