如何从一个向量计算坐标系？

Question

如何仅通过向量创建坐标系？（左手坐标系、右手坐标系、本地坐标系或不同空间）

我正在寻找计算本地坐标系算法，只给定一个向量：

原因：

1）也许Z是表面法线，那么X和Y向量将是切线和副切线向量

2）另一个原因是用于光线跟踪：对光源进行采样。给定一个交点，从该点构建本地坐标系，然后跟踪光线到光形状。

Vector3 Z = {0.0f, 0.0f, 1.0f}; // given
// fill x and y
CreateXHandedCoordinateSystem(Vector3* X, Vector3* Y, const Vector3& Z) {
   // implementation goes here..
   // evaluate algorithm
   // calculate X
   // Y = cross(X, Z) or something ..
}

- user5044221

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我真的不知道你想了解什么...... - Simon Kraemer

我投票关闭此问题，因为似乎没有具体的编程问题。 - NathanOliver

Answer 1

你可以使用双重叉乘技巧。

1. 取出向量（我们称其为本地X），再取任意上向量（通常是世界上向量）并计算其叉积。这将成为您的本地Z。
2. 取出您的本地X和本地Z并计算交叉产品，这将成为您的本地Y。

- Dimitry

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请注意，使用任意向量 [0,0,1] 进行叉积运算时，如果给定的 Z=[0, 0, 1] 就是同一个向量，则结果可能为零。在这种情况下，您需要选择另一个轴来开始计算。 - Patrick Stalph

Answer 2

假设给定向量中绝对值最小的分量为Zz，则定义X=(Zy,-Zx,0)，且Y=(-Zx.Zz,-Zy.Zz,Zx²+Zy²)。

如果最小分量不是Zz，请相应地调整公式。

请注意这些向量未经归一化处理，我也没有考虑左右手坐标系。

- user1196549

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很高兴听到更多细节，例如为什么(Zy，-Zx，0)是正交的。 - Patrick Stalph

@PatrickStalph 向量正交可以通过计算 X·Z、X·Y 和 Y·Z 并检查它们是否都为零来证明。例如，X·Z = ZxZy - ZyZx = 0。同时，可以轻松地检查到 X 叉乘 Y 指向负 Z 方向，因此如果您想要一个右手坐标系，必须交换 X 和 Y。 - DavidS

@PatrickStalph 我应该说：“如果你想要一个右手坐标系，你可以例如交换X和Y。”在这里使用“必须”太强烈了。 - DavidS

Answer 3

只需使用坐标旋转概念。

最初，您有一个向量（假设在x方向上）

现在将该向量旋转90度，您将获得第二个轴（如果在XY平面中旋转90度，则为y轴）

通过在适当的平面上旋转来获取第三个轴。

- Bibek

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谢谢Bibek。我添加了一些信息以澄清我的问题。如何通过点积将向量旋转90度？如果我知道向量z，如何使用某些数学和代码计算y或x向量。如果我找到y或z，叉积会给我其他向量。我知道两个向量的叉积会创建垂直向量。 - user5044221

不需要点积，只需旋转点并重新计算向量。 - Bibek