Matlab或Octave怎么能这么快？

Question

我对Matlab或Octave的计算速度非常困惑。

如何能够立即给出像5^5^5^5（= 2.351*10^87，如果你想知道）这样的计算结果？

我找到了一些关于矩阵计算速度（这篇文章）的结果，但没有其他相关内容。而这个并不是解释（我的（天真的）Python实现正在运行大约5分钟）。

- Happy

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你想计算 5^(5^(5^5)) 还是 ((5^5)^5)^5 = 2.351*10^87？ - tom

@tom：绝对不是，这只是一个例子。 - Happy

@Happy 好的，那是关于指数部分的，但是你如何相乘两个数字呢？也就是说，你是实现自己的乘法算法还是使用 Python 的 * 运算符（a * b）？ - rendon

5^5^5^5不是2.351 * 10⁸⁷。它大约是1.3357 * 10²¹⁸⁴。指数运算是从右向左结合的。5^5^5^5缩写为5^(5^(5^5))。((5^5)^5)^5是一个更容易计算的数字。那只是5⁵⁵⁵=5¹²⁵。 - David Hammen

由于这是一个有那么多位数的数字，无论计算速度有多快，任何程序都无法打印出答案。 - Teepeemm

Answer 1

5^5^5^5的计算并不需要那么多次操作。例如，在每个幂步骤中，比如说a^b，你可以计算exp(log(a)*b)，这将得到相同的结果。

我并不是说这一定是Matlab的做法，而且可能存在数值精度问题。但这说明了多次幂运算并不像直接计算所暗示的那样困难。

至于数值精度：

>> format long
>> 5^5^5^5
ans =
    2.350988701644576e+087
>> exp(log(exp(log(exp(log(5)*5))*5))*5)
ans =
    2.350988701644561e+087

相对误差为：

>> 1 - (5^5^5^5 / exp(log(exp(log(exp(log(5)*5))*5))*5))
ans =
   -6.661338147750939e-015

这个与eps不是很远。

- Luis Mendo

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你可能指的是“不需要”。 - MrAzzaman

@MrAzzaman 哎呀！谢谢！！ - Luis Mendo