我有一个离散的规则网格，其中包含a,b个点和它们对应的c值，并通过插值创建了一个平滑曲线。现在，我想从插值数据中进一步创建用于曲线拟合的多项式方程。如何在三维图中进行多项式拟合?
我尝试使用MATLAB进行这个操作。我使用了MATLAB（r2010a）中的曲面拟合工具箱来拟合三维数据。但是，在MATLAB / MAPLE或任何其他软件中如何找到最佳的拟合一组数据的公式呢？有什么建议吗？此外，最有用的是寻找一些真实的代码示例、PDF文件等等。
这只是我的数据的一小部分。
a = [ 0.001 .. 0.011];
b = [1, .. 10];
c = [ -.304860225, .. .379710865];
提前致谢。
% some 3d points
data = mvnrnd([0 0 0], [1 -0.5 0.8; -0.5 1.1 0; 0.8 0 1], 50);
正如 @BasSwinckels 所示，通过构建所需的design matrix，您可以使用mldivide或pinv来解决表示为Ax=b的超定系统：
% best-fit plane
C = [data(:,1) data(:,2) ones(size(data,1),1)] \ data(:,3); % coefficients
% evaluate it on a regular grid covering the domain of the data
[xx,yy] = meshgrid(-3:.5:3, -3:.5:3);
zz = C(1)*xx + C(2)*yy + C(3);
% or expressed using matrix/vector product
%zz = reshape([xx(:) yy(:) ones(numel(xx),1)] * C, size(xx));
接下来我们将结果可视化：
% plot points and surface
figure('Renderer','opengl')
line(data(:,1), data(:,2), data(:,3), 'LineStyle','none', ...
'Marker','.', 'MarkerSize',25, 'Color','r')
surface(xx, yy, zz, ...
'FaceColor','interp', 'EdgeColor','b', 'FaceAlpha',0.2)
grid on; axis tight equal;
view(9,9);
xlabel x; ylabel y; zlabel z;
colormap(cool(64))
% best-fit quadratic curve
C = [ones(50,1) data(:,1:2) prod(data(:,1:2),2) data(:,1:2).^2] \ data(:,3);
zz = [ones(numel(xx),1) xx(:) yy(:) xx(:).*yy(:) xx(:).^2 yy(:).^2] * C;
zz = reshape(zz, size(xx));
统计工具箱中还有一个辅助函数x2fx，可帮助构建几种模型阶数的设计矩阵：
C = x2fx(data(:,1:2), 'quadratic') \ data(:,3);
zz = x2fx([xx(:) yy(:)], 'quadratic') * C;
zz = reshape(zz, size(xx));
最后，在John D'Errico的文件交换中有一个优秀的函数polyfitn，它允许您指定各种多项式阶数和涉及的项：
model = polyfitn(data(:,1:2), data(:,3), 2);
zz = polyvaln(model, [xx(:) yy(:)]);
zz = reshape(zz, size(xx));
可能在文件交换中有更好的功能，但手动完成的一种方法如下：
x = a(:); %make column vectors
y = b(:);
z = c(:);
%first order fit
M = [ones(size(x)), x, y];
k1 = M\z;
%least square solution of z = M * k1, so z = k1(1) + k1(2) * x + k1(3) * y
%second order fit
M = [ones(size(x)), x, y, x.^2, x.*y, y.^2];
k2 = M\z;
您提供的有限数据集似乎存在数值问题。请键入 help mldivide 了解更多详情。
如果要在某个规则网格上进行插值，可以按照以下方式操作：
ngrid = 20;
[A,B] = meshgrid(linspace(min(a), max(a), ngrid), ...
linspace(min(b), max(b), ngrid));
M = [ones(numel(A),1), A(:), B(:), A(:).^2, A(:).*B(:), B(:).^2];
C2_fit = reshape(M * k2, size(A)); % = k2(1) + k2(2)*A + k2(3)*B + k2(4)*A.^2 + ...
%plot to compare fit with original data
surfl(A,B,C2_fit);shading flat;colormap gray
hold on
plot3(a,b,c, '.r')
M = [ones(size(x)), x, y, x.^2, x.*y, y.^2, x.^3, x.^2.*y, x.*y.^2, y.^3] 进行三阶拟合可以取得不错的效果，加一。 - Buck Thorna 只有两个不同的值（0.001 和 0.0011），因此尝试使用二次多项式进行拟合是无法定义的... - Bas Swinckels