如何“放大”Mandelbrot集合的一部分？

Question

我创建了一个Python文件来生成Mandelbrot集合图像。原始的数学代码不是我的，所以我不理解它 - 我只是大量修改它，使其快了约250倍（线程规则！）。

无论如何，我想知道如何修改代码的数学部分，以便渲染出一个特定的位。以下是数学部分：

for y in xrange(size[1]):
        coords = (uleft[0] + (x/size[0]) * (xwidth),uleft[1] - (y/size[1]) * (ywidth))
        z = complex(coords[0],coords[1])
        o = complex(0,0)
        dotcolor = 0  # default, convergent
        for trials in xrange(n):
            if abs(o) <= 2.0:
                o = o**2 + z
            else:
                dotcolor = trials
                break  # diverged
        im.putpixel((x,y),dotcolor)

还有尺寸定义:

size1 = 500
size2 = 500
n=64
box=((-2,1.25),(0.5,-1.25))
plus = size[1]+size[0]
uleft = box[0]
lright = box[1]
xwidth = lright[0] - uleft[0]
ywidth = uleft[1] - lright[1]

我需要修改什么才能使其呈现集合中的某个特定部分？

- Lobe

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我很怀念你使用线程来加速代码的方式，因为Python字节码在线程上无法同时执行，这是由于GIL所致。 - nosklo

Answer 1

这行代码：

box=((-2,1.25),(0.5,-1.25))

这一部分定义了正在呈现的坐标空间的区域，因此您只需要更改这一行。第一个坐标对是区域的左上角，第二个坐标对是右下角。

从图像中获取新的坐标应该很简单。您有两个坐标系：一个大小为100x100像素，原点位于(0,0)的“图像”系统和由“box”定义的“复数”平面坐标系。对于X：

X_complex=X_complex_origin+(X_image/X_image_width)*X_complex_width

- Ian Hopkinson

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谢谢，伙计！我怎么把这些转换成X和Y的值呢？有可能吗？ - Lobe

盒子包含两个x，y对：box=((x,y),(x,y)) 这回答了你的问题吗？ - Ian Hopkinson

啊，对不起，我误解了。我的意思是，如果我有完整渲染图像的尺寸（比如100x100），我该如何将100x100图像的某个部分的x和y值转换为一个“缩放”的x和y值呢？我怀疑这是不可能的 - 谢谢你的回答！ - Lobe

这应该相当简单。你有两个坐标系，一个是100x100像素大小的“图像”系统，原点在(0,0)处。另一个是由“box”定义的“复杂”平面坐标系。对于X： X_complex=X_complex_origin+(X_image/X_image_width)*X_complex_width 也许我应该编辑我的答案！ - Ian Hopkinson

谢谢！你能否更新一下你的答案，以防我需要回来查看而忘记了评论！ - Lobe

计算曼德博集合让我想起了我遥远的计算机过去的美好回忆！ - Ian Hopkinson

Answer 2

理解如何做到这一点的关键是要理解coords =行在做什么：

coords = (uleft[0] + (x/size[0]) * (xwidth),uleft[1] - (y/size[1]) * (ywidth))

有效地说，您正在循环遍历的x和y值对应于屏幕像素的坐标，这些值被转换为正在查看的复杂平面上的相应点。这意味着(0,0)屏幕坐标将转换为查看的左上区域(-2,1.25)，而(1,0)也是如此，但移动了距离的1/500（假设窗口宽度为500像素）在-2和0.5 x坐标之间。

这正是该行代码所做的 - 我将仅展开X坐标部分，并使用更具说明性的变量名称以指示此：

mandel_x = mandel_start_x + (screen_x / screen_width) * mandel_width

（mandel_变量是指复平面上的坐标，screen_变量是指正在绘制的像素的屏幕坐标。）

如果您想缩放屏幕上的某个区域，则需要执行完全相同的操作：获取左上角和右下角区域的屏幕坐标，将它们转换为复平面的坐标，并将其作为新的uleft和lright变量。也就是说，要缩放由屏幕坐标（x1，y1）..（x2，y2）限定的框，请使用：

new_uleft = (uleft[0] + (x1/size[0]) * (xwidth), uleft[1] - (y1/size[1]) * (ywidth))
new_lright = (uleft[0] + (x2/size[0]) * (xwidth), uleft[1] - (y2/size[1]) * (ywidth))

（显然，您需要根据新的坐标重新计算大小、xwidth、ywidth和其他相关变量）

如果您好奇，曼德布罗特集合背后的数学并不复杂（只是复杂的数学）。 所有它所做的就是取一个特定的坐标，将其视为一个复数，然后重复平方并加上原始数字。对于某些数字来说，这样做会导致结果发散，随着您重复这个过程而不断增长，趋向于无穷大。对于其他数字，它将始终保持在某个水平以下（例如，显然（0.0，0.0）在此过程中永远不会变得更大）。曼德布罗特集合（黑色区域）是那些不发散的坐标。已经证明，如果任何数字超过5的平方根，它将发散-您的代码只是使用2.0作为其对sqrt（5）（〜2.236）的近似值，但这不会产生太多明显的差异。

通常，发散的区域会用它们超过此值所需的过程的迭代次数（您代码中的“尝试”变量）进行绘制，这就是产生彩色区域的原因。

- Brian