f、g、h的Kleisli（（->）e）a b <=> f >>>（g &&＆h）=（f >>> g）&&＆（f >>> h）？

Question

编辑：如果存在这样的函数 f，使得箭头 p 纯净，则我们将称箭头 p 为纯箭头：p = arr f。

我试图更好地掌握 Haskell 中的 Arrow，并想要找出何时成立：

f >>> (g &&& h) = (f >>> g) &&& (f >>> h)，其中 f、g、h 都是箭头。

显然，这并不普遍成立。在这个特定的例子中，右侧的副作用被复制了：

GHCi> c = Kleisli $ \x -> ("AB", x + 1)
GHCi> fst . runKleisli (c >>> c &&& c) $ 1
"ABABAB"
GHCi> fst . runKleisli ((c >>> c) &&& (c >>> c)) $ 1
"ABABABAB"

显然，如果f是纯函数，则 f >>> (g &&& h) = (f >>> g) &&& (f >>> h)。

我在 GHCi 中尝试了此语句对于f, g, h :: Kleisli ((->) e) a b的实现，但未能找到这样的f，g和h的值，使得f >>> (g &&& h) ≠ (f >>> g) &&& (f >>> h)。对于f, g, h :: Kleisli ((->) e) a b，此语句是否确实正确，如果是，这是否可以作为一个有效的证明： Monad ((->) e)的效果是从环境中读取。因此，应用f的结果是帮助g和h从环境中读取的函数。无论此函数在何处创建 - 它都是相同的，因为它每次都应用于相同的参数，因此从环境中读取的结果也是相同的，因此整体结果也是相同的。

- Zhiltsoff Igor

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有趣的后续问题是：哪些单子具有这种属性？它们是否都同构于Reader和Writer与idempotent单子的组合？ - leftaroundabout

@leftaroundabout，我非常确定我们可以将“Either”和“Maybe”单子加入列表中，因为它们的效果取决于应用程序的顺序，并且根据“（&&&）”的定义，这些应用程序在左手和右手上是相同且顺序相同的。但我可能错了。你怎么看？ - Zhiltsoff Igor

Answer 1

直观理解

是的，(->) e这个单子是一个reader（读者）单子，无论我们进行两次读取还是只有一次都没有关系。运行f一次或两次并不重要，因为它总是会产生相同的结果，并具有相同的效果（读取）。

你的推理在我的看来是直观正确的。

正式表述

f, g, h :: Kleisli ((->) e) a b实际上意味着f, g, h :: a -> (e -> b)，去掉了包装。

同样地，忽略这层包装，我们得到

for all (f :: a -> e -> b) and (g :: b -> e -> c)
f >>> g = (\xa xe -> g (f xa xe) xe)

for all (f :: a -> e -> b) and (g :: a -> e -> c)
f &&& g = (\xa xe -> (f xa xe, g xa xe))

因此：

f >>> (g &&& h)
= { def &&& }
f >>> (\xa xe -> (g xa xe, h xa xe))
= { def  >>> }
(\xa' xe' -> (\xa xe -> (g xa xe, h xa xe)) (f xa' xe') xe')
= { beta }
(\xa' xe' -> (g (f xa' xe') xe', h (f xa' xe') xe'))


(f >>> g) &&& (f >>> h)
= { def >>> }
(\xa xe -> g (f xa xe) xe) &&& (\xa xe -> h (f xa xe) xe)
= { def &&& }
(\xa' xe' -> ((\xa xe -> g (f xa xe) xe) xa' xe', (\xa xe -> h (f xa xe) xe) xa' xe'))
= { beta }
(\xa' xe' -> (g (f xa' xe') xe', h (f xa' xe') xe'))

- chi

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“Either”和“Maybe”单子是否也具有这种属性？ 我相信它们具有这种属性，因为它们的效果取决于应用程序的顺序，并且根据“（&&&）”的定义，左手和右手的应用程序是相同的并且顺序相同。 - Zhiltsoff Igor

@ZhiltsoffIgor，我猜他们应该有这个。 - chi