使用Python解决带有时间延迟的ODE问题

Question

有人能给我一些建议吗，如何在Python中解决一个带有时间延迟的常微分方程（ODE）？使用scipy.integrate.odeint似乎无法实现。我正在寻找的应该类似于：

# the constants in the equation
b = 1/50
d = 1/75
a = 0.8
G = 10 ** (-2)
tau = 0.5
u = [b, d, tau, a, G]

# enter initial conditions
N0 = 0.1
No0 = 10
w = [N0, No0]

def logistic(w, t, u):
    N, No = w
    b, d, tau, a, G = u
    dNdt = b * (No(t) - N(t) ) * (N(t) / No(t) ) - d * N(t - tau)
    dNodt = G * (a * No(t) - N(t) ) * (N(t) / No(t) )
    return [dNdt, dNodt]

# create timescale
# create timescale
stoptime = 1000.0
numpoints = 10000
t = np.linspace(0, stoptime, numpoints)

# in my previous code I would use scipy.integrate.odeint here to integrate my 
# equations, but with a time-delay that doesn't work (I think)
soln = ...

N(t)、N(t-tau)等是函数的时间参数。是否存在解决这些类型方程的好库？非常感谢！

- ThePiIsALie

Answer 1

我是 JiTCDDE 的作者，它可以解决时滞微分方程问题，并且与 scipy.ode 大致相似。你可以使用命令 pip3 install jitcdde来安装它。据我所知，Python中的其他现有 DDE 库可能存在缺陷或基于已弃用的依赖关系。

以下代码将对您的问题进行集成：

from jitcdde import t, y, jitcdde
import numpy as np

# the constants in the equation
b = 1/50
d = 1/75
a = 0.8
G = 10**(-2)
tau = 0.5

# the equation
f = [    
    b * (y(1) - y(0)) * y(0) / y(1) - d * y(0, t-tau),
    G * (a*y(1) - y(0)) * y(0) / y(1)
    ]

# initialising the integrator
DDE = jitcdde(f)

# enter initial conditions
N0 = 0.1
No0 = 10
DDE.add_past_point(-1.0, [N0,No0], [0.0, 0.0])
DDE.add_past_point( 0.0, [N0,No0], [0.0, 0.0])

# short pre-integration to take care of discontinuities
DDE.step_on_discontinuities()

# create timescale
stoptime = 1000.0
numpoints = 100
times = DDE.t + np.linspace(1, stoptime, numpoints)

# integrating
data = []
for time in times:
    data.append( DDE.integrate(time) )

- Wrzlprmft

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谢谢，你的库看起来很有前途，我一定会尝试使用！ - ThePiIsALie

@ThePiIsALie：我明白了。那么你必须确实调整你的代码。但我假设我的最小示例版本能够工作？ - Wrzlprmft

它能解决像这个这样的问题吗？ - user6043040

@user6043040：不是直接的。你需要先将问题的空间方面离散化（任何求解器都必须这样做）。此外，请注意，对于偏微分方程，由于它们的规则结构，您通常可以通过使用并行化技术来加速处理，而JiTCDDE不支持此类情况（因为它没有针对这种情况进行过优化）。 - Wrzlprmft

@jjrr：不，我把它删掉了，因为它过于复杂和不符合Python的风格。现在你可以直接导入这些符号。请看我的编辑。 - Wrzlprmft