傅里叶变换（FFT）在进行信号频谱分析时的单位

Question

我的问题与对信号进行频谱分析或将信号输入FFT并使用适当的数字包来解释输出结果的物理意义有关。

具体而言：

- 取一个信号，比如时间变化的电压v(t) - 将其输入FFT（得到一串复数） - 现在取模（abs）并平方结果，即|fft(v)|^2。

因此，现在您在y轴上拥有实数 - 我可以称这些为频谱系数吗？

- 使用采样分辨率，您按照食谱配方将频谱系数与频率相关联。 - 在此时，您拥有带有频率的频谱g(w)在x轴上，但是y轴上有什么物理单位？

我理解的是，这个频率谱显示了电压信号中存在多少不同频率 - 它们是频谱系数，因为它们是正弦和余弦的系数，用于重建原始信号。

因此，第一个问题是，这些频谱系数的单位是什么？

之所以这很重要，是因为频谱系数可能很小或很大，因此我想使用dB刻度来表示它们。

但是要做到这一点，我必须做出选择：

- 要么我使用20log10 dB转换，对应于场测量，例如电压。 - 要么我使用10log10 dB转换，对应于能量测量，例如功率。

我使用哪种缩放取决于单位是什么。

对此的任何解释都将不胜感激！

- Assad Ebrahim

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注意，在以f为变量的傅里叶变换（而不是FFT）中，单位是[V.s]（如果信号以伏特为单位，时间以秒为单位）。这是因为在积分时，结果的单位为y轴单位乘以x轴的单位（寻找曲线下面的区域）。此外，一个信号的平方的积分在时域和频域中是相同的（Parseval定理）。左边的单位是[V^2.s]，右边的单位是[X^2.(1/s)]（其中f以Hz为单位），因此X=[V.s]。参见http://physics.stackexchange.com/questions/15073/how-does-the-fourier-transform-invert-units - Evgeni Sergeev

@EvgeniSergeev - 谢谢您，这是一个很好的对基本傅里叶变换的解释，并与底层数学相关联(+1)。 - Assad Ebrahim

我投票关闭此问题，因为它属于物理学。 - BryanH

6年后，不确定关闭它是否会增加太多价值。请记住，该网站在早期是非常不同的。首先，当时Stack Overflow是唯一的选择。从问题和答案的回应来看，SO的读者仍然有很多工程师。恕我直言，我建议保持现状，不要关闭它。 - Assad Ebrahim

Answer 1

取一个信号，一个随时间变化的电压v(t)

单位为 V，值为实数。

将其输入FFT - 好的，你会得到一系列复数

单位仍为 V，值为复数（不是 V/Hz - FFT中的直流信号变成了直流电平的点，而不是一个朝着无穷大飞去的狄拉克δ函数）

现在取模（abs）

单位仍为 V，值为实数 - 信号分量的幅度

并平方结果，即|fft(v)|^2

单位现在为 V²，值为实数 - 信号分量幅度的平方

我应该称这些为频谱系数吗？

更接近于功率密度而不是通常使用的频谱系数。如果您的负载是完美的电阻，则它将是功率，但如果您的负载是频率依赖的，则为“输入电压的FFT的幅度的平方”。

此时，您有一个频谱g(w)：x轴上的频率，以及...在y轴上是什么物理单位？

单位为 V²

另一个原因是单位很重要，因为频谱系数可能非常小或非常大，所以我想使用dB比例尺来表示它们。但是为了做到这一点，我必须做出选择：我是否使用20log10 dB转换（对应于场测量，如电压）？还是使用10log10 dB转换（对应于能量测量，如功率）？

您已经平方了电压值，相当于向完美的1欧姆电阻器提供等效功率，因此请使用10log10。

log(x²) 是 2 log(x)，因此 20log10 |fft(v)| = 10log10 ( |fft(v)|²)，因此如果您没有平方值，则可以使用20log10。

- Pete Kirkham

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Pete，谢谢！ 当你输入回复时，我正在编辑推导。我得到了每赫兹的能量（见下面的推导）。 - Assad Ebrahim

是的，这就是我说“不是V/Hz”的原因——FFT将直流信号计算为一个点，而不是一个无限趋于正无穷的狄拉克函数。FFT计算其输入在离散时间点采样后与无量纲值相乘的总和；FFT结果的单位与其输入相同；在该过程中没有时间或频率的缩放。 - Pete Kirkham

@Pete -- 啊！我明白了。谢谢。那么，“频谱系数”这个术语是否可以正确地应用于fft(v)的复数序列？ - Assad Ebrahim

@PeteKirkham 为什么单位不是 V*s 呢？因为傅里叶变换是这样的：S(w) = integral(s(t) * exp(-j*w*t) * dt)。指数项是无单位的，信号 s(t) 的单位是伏特，而 dt 的单位是秒。编辑：啊，也许 FFT 算法特别跳过了 dt 的比例因子。嗯，可能值得在这里提一下。 - jnez71

Answer 2

Y轴是复数（与实数相对）。幅度是原始信号的振幅，以您原始样本中的任何单位表示。角度是该频率分量的相位。

- Laurence Gonsalves

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谢谢Laurence；让我澄清一下：（A）在y轴上我得到了实数值。因此，由于真正的傅里叶变换给出复数值，程序包内部可能正在进行以下操作之一：（i）它正在获取变换的实数值，或者（ii）它正在获取变换的幅度，或者（iii）？（B）原始样本以伏特为单位。 - Assad Ebrahim

@AKE，复数的实部本身并不能告诉你太多信息 - 它几乎没有什么用处。你可能想要的是幅值，即 sqrt(r^2 + i^2)，或者更容易计算的幅值的平方，省略了 sqrt。 - Mark Ransom

实部和虚部的单位是什么？相位的单位是什么（指x轴的单位）？ - Gulzar

@Gulzar y轴的幅度与原始输入波的y轴单位相同。实部和虚部的单位与幅度相同，但通常独立考虑它们没有太多意义，就像您不会只看距离向量的一个维度一样。相位不是x轴，相位是y在极坐标形式下的角度-360°= 2π弧度= 1个周期。x轴是频率，刻度取决于样本数和采样率。有关x轴的详细信息，请参见此其他问题：https://dev59.com/YG855IYBdhLWcg3wZzbf - Laurence Gonsalves

Answer 3

这是我目前想到的内容：

纵轴很可能以[能量/赫兹]为单位！？这是我的推导过程（欢迎反馈！）：

1. 信号v(t)以伏特为单位 2. 因此，在进行傅里叶积分后：积分e^iwt v(t) dt，我们应该有[伏特*秒]或[伏特/赫兹]的单位（e^iwt无单位） 3. 取幅值平方应该得到[伏特^2 * 秒^2]或[v^2 * 秒/赫兹]的单位 4. 我们知道功率与伏特^2成正比，因此这使我们得到了[功率*秒/赫兹] 5. 但是功率是能量的时间变化率，即功率=能量/秒，因此我们还可以写出能量=功率*秒 6. 这让我们得出[能量/赫兹]的候选结论。 （焦耳/赫兹？！）

这表明“每赫兹的能量含量”的含义，并建议使用积分频带并查看能量含量...如果这是真的，那将非常好...

继续...假设以上内容正确，则我们正在处理能量测量，因此这将建议使用10log10转换进入dB比例尺，而不是20log10...

- Assad Ebrahim

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除了它不是能量/功率本身之外，一切看起来都很好。除非你有一个特定的电阻在脑海中，否则你不应该撒谎并且只说它是伏特的平方。 - Victor Liu

我心中有一个理想的50欧姆电阻（用于匹配投影仪的传输设备阻抗）。P~V^2/R，其中R被视为50欧姆常数负载。 - Assad Ebrahim

@AssadEbrahim 这是一个旧的回复，所以不确定你是否还在，但这看起来很好！此外，我相信能量是 $\Sum_{k=0}^{N-1}x[n]^2$，而功率是 $\frac{1}{N}\Sum_{k=0}^{N-1}x[n]^2$。因此，如果我们通过长度（即样本的时间持续时间）对FFT进行归一化，最终会得到功率谱密度。这对你有意义吗？ - Dan Boschen

我不完全确定你的特定应用，但是在第二点中进行傅里叶积分时，你是否应该在前面包括归一化常数，单位为秒^-1？ - Louis

Answer 4

电阻器消耗的功率为 v^2/R 瓦特。 信号 x(t) 的功率是电阻值为 1 Ohm 时的功率抽象值。 因此，信号 x(t) 的功率为 x^2 （也称瞬时功率），不考虑 x(t) 的物理单位。

例如，如果 x(t) 是温度，且 x(t) 的单位是摄氏度，则 x^2 的功率单位为 C^2，而不是瓦特。

如果对 x(t) 进行傅里叶变换以获取 X(jw)，则 X(jw) 的单位为 C*sec 或 C/Hz（根据傅里叶变换积分）。 如果使用 (abs(X(jw)))^2，则单位为 C^2*sec^2=C^2*sec/Hz。由于功率单位为 C^2，能量单位为 C^2*sec，因此abs(X(jw)))^2 给出能量谱密度，记作 E/Hz。这与 Parseval 定理一致，其中 x(t) 的能量由 (1/2*pi) 乘以 abs(X(jw)))^2 对 w 进行积分得到，即 (1/2*pi)*int(abs(X(jw)))^2*dw) > (1/2*pi)*(C^2*sec^2)*2*pi*Hz > (1/2*pi)*(C^2*sec/Hz)*2*pi*Hz > E。

将其转换为 dB（对数）刻度不改变单位。

如果你对样本 x(t) 进行FFT，写成 x(n) 形式，得到结果X(k)，这个结果X(k)是一个周期性函数的傅里叶级数系数的估计值，其中一个周期在 T0 秒内是 x(t) 被采样的段。如果 x(t) 的单位为度 C，那么 X(k) 的单位也是度 C。 abs(X(k))^2 的单位是 C^2，即功率的单位。因此，绘制 abs(X(k))^2 关于频率的图表显示了x(n) 的功率谱（而不是功率谱密度），它估计了在频率 k/T0 Hz 处 x(t) 的一组频率分量的功率。

- Roland Priemer

Answer 5

我知道回答晚了。但是我最近在不同的情况下需要做类似的事情。我的原始数据是针对存储单元的事务延迟值 - 我将其重新采样为1毫秒时间间隔。因此，原始数据y是“延迟，以微秒为单位”。我有2 ^ 18 = 262144个原始数据点，每个点之间相差1毫秒。

在进行FFT后，我得到了一个0th分量（DC），使得以下内容成立：

FFT [0] = 262144 *（所有输入数据的平均值）。

所以对我来说，FFT [0]是N *（输入数据的平均值）。这有点合理 - 每个数据点都具有该DC平均值作为其一部分，因此您将它们全部加起来。

如果您查看FFT的定义，这也是有意义的。所有其他组件也涉及正弦和余弦项，但实际上FFT只是求和。平均值只是唯一一个在所有点中都存在的值，因为cos（0）= 1。

- Kip Ingram

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因此，要完成这个想法，单位必须相同，因为FFT分量只是输入分量乘以无量纲正弦和余弦项的总和。 - Kip Ingram