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为什么十进制小数不能在二进制中被精确表示？

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在SO上发布了几个关于浮点表示的问题，例如小数0.1没有精确的二进制表示，因此使用“==”运算符将其与另一个浮点数进行比较是危险的。我理解浮点表示背后的原理。但我不明白的是，从数学角度讲，为什么小数点右侧的数字比左侧的数字更加“特殊”？例如，数字61.0具有精确的二进制表示，因为任何数字的整数部分始终是精确的。但数字6.10就不是精确的了。我只是把小数点向右移动了一位，突然间从精确到不精确。在数学上，这两个数字之间应该没有内在的区别--它们只是数字而已。相反，如果我向左移动小数点一位，得到数字610，我仍然处于精确状态。我可以一直朝着这个方向走（6100、610000000、610000000000000），它们仍然是精确的。但是一旦小数点超过某个阈值，数字就不再精确了。发生了什么？编辑：为了澄清，我想避免讨论诸如IEEE等行业标准表示法，并坚持我认为的数学“纯粹”方式。 在十进制中，位值是：
... 1000  100   10    1   1/10  1/100 ...

在二进制中，它们将会是：

... 8    4    2    1    1/2  1/4  1/8 ...

这些数字也没有任何限制。数字的位置从左到右无限增加。

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你可能会发现这篇文章有助于理解浮点数内部的运作方式：浮点数的解剖。 - John D. Cook
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在二进制中，数字3表示为2¹+2°=2+1。非常简单易懂。现在，看一下1/3。你如何使用负幂次的2来表示它？试试实验，你会发现1/3等于无限序列2^-2 + 2^-4 + 2^-6 + 2^-8 + ...的总和，也就是说，在二进制中很难精确地表示。 - Lars Haugseth
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Jon Skeet在你的问题中提供了很好的回答。但有一件事情被遗漏了，那就是你实际上问了两个不同的问题。标题问题是“为什么十进制小数不能在二进制中精确表示？”答案是，它们可以被表示。在你的标题和正文之间，你混淆了“二进制”和“浮点表示”的概念。浮点数是一种以固定数量的二进制数字表示十进制数的方法，但会牺牲精度。而二进制只是另一种计数法，可以表示任何十进制数，只要有无限多的数字。 - Chris Blackwell
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有一些系统具有精确的十进制表示，其工作方式基本上与您描述的相同。 SQL十进制类型就是一个例子。LISP语言内置了这个功能。有几个商用和开源库可用于使用精确的小数计算。只是目前还没有此类硬件支持，大部分语言和硬件都实现了IEEE标准，以32或64位表示无限数量的数字。 - nos
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该问题似乎与数学有关（即使它是涉及编程的数学），更适合在 [math.se] 上进行讨论。 - Cole Tobin
22个回答
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在这个方程中，
2^x = y ;  
x = log(y) / log(2)

因此，我在想我们是否可以为二进制引入一个对数基数系统，例如：
 2^1, 2^0, 2^(log(1/2) / log(2)), 2^(log(1/4) / log(2)), 2^(log(1/8) / log(2)),2^(log(1/16) / log(2)) ........

这可能能够解决问题，所以如果你想要将32.41写成二进制，那么它应该是：

2^5 + 2^(log(0.4) / log(2)) + 2^(log(0.01) / log(2))

或者

2^5 + 2^(log(0.41) / log(2))
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问题是你不知道这个数字是否确实是61.0。请考虑以下内容： 


float a = 60;
float b = 0.1;
float c = a + b * 10;

c的值是多少？它并不完全等于61，因为b实际上并不是0.1，因为0.1在二进制中没有精确的表示。

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数字61.0确实具有精确的浮点运算，但并非对于所有整数都是如此。如果您编写了一个循环，将双精度浮点数和64位整数都加1，最终会达到一个点，其中64位整数完美地表示了一个数字，但浮点数却没有，因为它没有足够的有效位。

在小数点右侧，接近值的点就容易得多。如果开始用二进制浮点数写出所有数字，这就更有意义了。

另一种思考方式是，当您注意到数字61.0在十进制中可以完美表示时，并且移动小数点不会改变这一点，您正在执行10的乘方（10^1，10^-1）乘法。在浮点数中，乘以2的幂不会影响数字的精度。尝试重复将61.0除以3，以说明一个完全准确的数字如何失去其精确表示。

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这里有一个阈值，因为数字的含义已经从整数变成了非整数。要表示61，您需要6*10^1 + 1*10^0；10^1和10^0都是整数。6.1是6*10^0 + 1*10^-1，但10^-1是1/10，绝对不是整数。这就是你最终进入Inexactville的原因。

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可以将分数和整数进行类比。例如，一些分数如1/7在十进制形式下需要很多很多位小数才能表示出来。由于浮点数是基于二进制的，所以特殊情况会有所改变，但同样的精度问题也会出现。
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你无法在二进制中精确地表示0.1，就像你无法使用传统的英寸标尺来测量十分之一英寸一样。

英寸标尺和二进制小数都是关于一半的。你可以测量半英寸、四分之一英寸（当然是半个半英寸）、八分之一英寸、十六分之一英寸等。

但如果你想要精确地测量十分之一英寸，那么你就没那么幸运了。它比八分之一英寸少，但比十六分之一英寸多。如果你想得更准确，你会发现它比3/32略大一点，但比7/64略小一点。我从未见过实际上有比64份之一还细的刻度的标尺，但如果你做一下数学，你会发现1/10比13/128小，而比25/256大，并且比51/512大。你可以继续用1024分之一、2048分之一、4096分之一、8192分之一等更细的单位来测量，但是即使在一个无限细的基于二的标尺上，你也永远找不到与1/10或0.1完全对应的明确标记。

你会发现一些有趣的东西。让我们来看看我列出的所有近似值，并为每个值明确记录0.1是更小还是更大：

分数 小数 0.1 是... 转化为 0/1
1/2 0.5 小于 0
1/4 0.25 小于 0
1/8 0.125 小于 0
1/16 0.0625 大于 1
3/32 0.09375 大于 1
7/64 0.109375 小于 0
13/128 0.1015625 小于 0
25/256 0.09765625 大于 1
51/512 0.099609375 大于 1
103/1024 0.1005859375 小于 0
205/2048 0.10009765625 小于 0
409/4096 0.099853515625 大于 1
819/8192 0.0999755859375 大于 1
现在，如果你看最后一列，你会看到0001100110011。这并不是巧合，无限重复的二进制分数1/10就是0.0001100110011...
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正如我们一直在讨论的那样，在浮点算术中，十进制数0.1无法在二进制中完美表示。

浮点和整数表示为所表示数字提供了网格或晶格。随着算术运算的进行，结果会从网格上掉落，并且必须通过四舍五入将其放回到网格上。例如，在二进制网格上的1/10。

如果我们使用二进制编码的十进制表示法，就像有位先生建议的那样，我们是否能够将数字保持在网格上？

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十进制数没问题。但这只是定义而已。你不能用十进制表示1/3，就像你不能用二进制表示0.1一样。任何量化方案都无法处理无限大的数字集合。 - Kylotan
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但是即使有无限数量的位数，如果您使用浮点“二进制”小数点，您仍然无法精确表示0.1，就像您在十进制中即使有无限数量的位数也无法精确表示1/3一样。 - Jon Skeet
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@Jon，那是不正确的：有了无限数量的小数，例如我可以准确地表达“三分之一”。现实世界的问题在于，物理上不可能拥有“无限多”的小数或位数。 - ChrisW
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刚加入的朋友们，可以参考维基百科上对于“0.9999999999…”的文章。 - Steve Summit
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你知道整数吧？每个位代表2^n。


2^4=16
2^3=8
2^2=4
2^1=2
2^0=1

对于浮点数也是一样的（有些区别），但是位代表2^-n。 2^-1=1/2=0.5
2^-2=1/(2*2)=0.25
2^-3=0.125
2^-4=0.0625

浮点二进制表示：

符号  指数    小数（我认为小数后面会添加一个看不见的1）
B11  B10 B9 B8   B7 B6 B5 B4 B3 B2 B1 B0

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上面得分很高的答案说得很好。

首先，在你的问题中混合了二进制和十进制，然后当你在右侧放置一个不能被基数整除的数字时，就会出现问题。比如十进制中的1/3，因为3不能被10的幂整除，或者二进制中的1/5，它不能被2的幂整除。

另外，永远不要在浮点数中使用等号，即使它是一个精确的表示，某些浮点系统中的一些数字可以用多种方式准确地表示（IEEE在这方面做得很糟糕，它是一个可怕的浮点规范，所以请预料头痛）。在这里也是一样，1/3不等于计算器上的0.3333333，无论小数点右边有多少个3。它可能足够接近，但并不相等。因此，你会期望像2*1/3这样的表达式不等于2/3，具体取决于四舍五入。永远不要在浮点数中使用等号。

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