对于2D离散数据点（轮廓图像的像素），进行B样条拟合

Question

我正在尝试将B样条拟合到一个有序的离散数据点集上，这些数据点表示从图像中提取的轮廓像素。

虽然以下代码对一些简单的形状有效，但对于其他形状却不行（请参见附图以获取示例）。为什么会出现这种情况，有什么更好的方法来解决这个问题？

我对微分几何还比较新，感谢任何见解或意见。谢谢。

% data contains two columns representing x,y coordinates of pixels
x = data(:, 1); 
y = data(:, 2); 
plot(x, y, 'bo');
fittedmodel = fit(x, y, 'cubicinterp');
plot(fittedmodel, 'r-');

- user1737647

Answer 1

出了什么问题？

你有两组数字 x 和 y，两组数字的元素数量相同。
你假设：
a. 存在一个函数 f，使得对于所有的成对的 x_i,y_i，都有 f(x_i) = y_i。
b. 集合中的点是有序的：也就是说，如果你跟随 f(x) 的曲线，那么 x_i 会“在” x_{i+1} 之前。

虽然这些假设对于你拥有的“正确拟合”的示例是成立的。但是它们对于“错误拟合”的示例已经不再有效。
正如你自己所看到的，顶部的输入轮廓无法表示为 y = f(x)，因为存在 x 的值，对应着 两个 可能的 y 值（请参见数学函数的定义）。你得到的拟合是最接近给定的 x,y 对的数学函数 y = f(x)（红色曲线具有每个 x 只有一个 y 值的属性）。

你可以做什么？

在大多数情况下，当你尝试拟合 2D 曲线时，你会搜索一个参数曲线：也就是说，你引入一个辅助参数 t，使得曲线上的每个点都可以表示为 [x(t), y(t)]（其中 0<=t<=1）。
现在，如果假设 b 成立（通过查看你的示例，我不确定它是否成立），那么你可以这样做：

 t = linspace( 0, 1, numel(x) ); % define the parameter t
 fitX = fit( t, x, 'cubicinterp'); % fit x as a function of parameter t
 fitY = fit( t, y, 'cubicinterp'); % fit y as a function of parameter t
 plot( fitX, fitY, 'r-' ); % plot the parametric curve

- Shai