如何在Mathematica中减少自变量的数量

Question

如何在Mathematica中减少自变量的数量

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我不确定这是否真的是一个数学问题，还是实际上是一个Mathematica问题。 :D

假设我有一个矩阵。

{{4/13 + (9 w11)/13 + (6 w12)/13, 
  6/13 + (9 w21)/13 + (6 w22)/13}, {-(6/13) + (6 w11)/13 + (4 w12)/
   13, -(9/13) + (6 w21)/13 + (4 w22)/13}}

使用w11、w12、w21、w22作为自由参数。

我通过视觉检查知道3*w11+2*w12可以表示为一个变量，3*w21+2*w22可以表示为另一个变量。因此，这个矩阵实际上只有两个独立变量。对于任何这种形式的矩阵，是否有一种方法可以自动减少独立变量的数量？我猜我卡在了用精确的数学方式表达这个问题上。

请分享您的想法。非常感谢。

编辑：

我的问题实际上是以下内容。给定这样的矩阵

{{4/13 + (9 w11)/13 + (6 w12)/13, 
  6/13 + (9 w21)/13 + (6 w22)/13}, {-(6/13) + (6 w11)/13 + (4 w12)/
   13, -(9/13) + (6 w21)/13 + (4 w22)/13}}

或涉及其他符号常数。

{{a+4/13 + (9 w11)/13 + (6 w12)/13, 
  6/13*c + (9 w21)/13 + (6 w22)/13}, {-(6/13)/d + (6 w11)/13 + (4 w12)/
   13, -(9/13) + (6 w21)/13 + (4 w22)/13}}

我想使用Mathematica自动识别独立变量的数量 n（在本例中为2），然后将这些独立变量命名为y1，y2，...，yn，然后用y1，y2，...，yn代替w11，w12，w21，w22来重写矩阵。

- Qiang Li

不想太过纯粹，你需要“方程式”来解决变量。你只有一些求和式。 - Dr. belisarius

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- Daniel Lichtblau · Accepted Answer

开始使用

mat = {{4/13 + (9 w11)/13 + (6 w12)/13,6/13 + (9 w21)/13 + (6 w22)/13},
  {-(6/13) + (6 w11)/13 + (4 w12)/13, -(9/13) + (6 w21)/13 + (4 w22)/13}};

形成一个由未知数组成的第二个矩阵，维度与第一个相同。

mat2 = Array[y, Dimensions[mat]];

现在考虑通过设定 mat-mat2==0 来形成一个多项式（实际上是线性）系统。我们可以消除原始变量并寻找新变量之间的依赖关系。可以使用 Eliminate；我将展示如何使用 GroebnerBasis。

GroebnerBasis[Flatten[mat - mat2], Variables[mat2], Variables[mat]]

Out[59]= {-3 + 2 y[1, 2] - 3 y[2, 2], -2 + 2 y[1, 1] - 3 y[2, 1]}

因此，我们得到了原始矩阵元素之间的一对明确关系。

---编辑---

您可以获取新变量的表达式，其中清晰地表示了其中两个变量对另外两个变量的依赖关系。为此，形成Groebner基础并在多项式缩减中使用它。

gb = GroebnerBasis[Flatten[mat - mat2], Variables[mat2], Variables[mat]];
vars = Flatten[mat2];

PolynomialReduce[vars, gb, vars][[All, 2]]

Out[278] = {1 + 3/2 y[2, 1]，3/2 + 3/2 y[2, 2]，y[2, 1]，y[2, 2]}

---编辑结束---

Daniel Lichtblau 沃尔夫勒姆研究公司