如何计算n维空间中的旋转矩阵，给定旋转点、旋转角度和旋转轴（n-2子空间）。

Question

如何计算n维空间中的旋转矩阵，给定旋转点、旋转角度和旋转轴（n-2子空间）。

matlabmatrixrotationlinear-algebraalgebra

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我希望能够在n维空间中计算一个(nxn)的旋转矩阵，给定以下条件：

要旋转的点。
旋转角度。
旋转轴（由n-2个跨越该子空间的单位向量组成的n-2子空间，通过原点）。
最终旋转后的点。

我认为第四个条件（最终旋转后的点）是多余的，可以不用它来计算旋转矩阵。但我有所有条件。

是否有Matlab函数已经实现了这个功能？我知道n=3时有一个函数(vrrotvec2mat)。但我没有找到适用于一般n的函数。如果没有这样的函数，有人能告诉我如何计算它，以便我可以编写函数吗？

我甚至不确定一般情况下是否存在唯一的旋转矩阵。如果有多个，我不介意使用哪个旋转矩阵。

非常感谢您的帮助。

- David

2个回答

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如果你有正交向量u和v，它们跨越了你的n-2子空间的正交补，或者换句话说，如果w(1)…w(n-2)是跨越n-2子空间的向量，如果你有向量u和v，使得它们都与所有的w正交，并且彼此之间也正交，且长度均为1，则所需矩阵M的构造将变得简单明了。

定义nx2矩阵P以u为其第一列，v为其第二列，令R为通常的2x2旋转矩阵，通过角度旋转。然后，

M = I + P*(R-i)*P'

“这里的I是n×n的单位矩阵，i是2×2的单位矩阵。”

“如果您想，我可以详细解释一下为什么这是（唯一）您需要的矩阵。”

“如果您没有u和v向量，那么最棘手的部分就是获取它们。”

“如果您有投影矩阵Q到您的n-2维子空间，则可以通过找到Q的零空间的（正交）基础来找到u和v。然而，这里有一个令人烦恼的细节：如果您像上面那样使用u、v，则会得到一个“旋转矩阵”，而如果您交换它们，则会得到另一个旋转矩阵。我在引号中放置了旋转矩阵，因为其中一个将具有行列式1，因此是旋转矩阵，而另一个将具有行列式-1。”

“上面的矩阵将始终具有与R相同的行列式，这可以使用Sylvester's determinant identity和P'*P = i的事实来看出。”

然而，它是否代表了一个给定角度的旋转却相当模糊。假设我们选择用2xn矩阵Q而不是P来表示正交补空间的不同基础。由于它们代表同一空间的不同（正交）基础，因此存在一个2x2正交矩阵S，使得Q = S*P。因此，使用Q构造的矩阵为：

N = I + P*S'*(R-i)*S*P'

如果事实上S是一个旋转，那么一切都很好，N和M将会相同。但是如果S的行列式为-1，例如：

S = ( 0 1 )
    ( 1 0 )

"然后"

S'*(R-i)*S = R'-i

所以我们已经反转了旋转角度！

- dmuir

有趣！如果我错了，请纠正我，但是如果您将n-2个正交基作为矩阵W，则不是可以通过求解W的零空间来得出u和v吗？ - jodag

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@jodag 我添加了更多的内容，希望能回答你的问题。 - dmuir

谢谢！让我看看我是否理解了。假设B是我的n x (n-2)子空间（n个正交向量，它们跨越轴子空间）。令P=null(B)，意思是P是一个(n x 2)的矩阵（这两个向量正交于B中的所有向量，也互相正交）。那么上面的M计算会给我所需的结果吗？只是为了澄清，我想旋转的点不一定正交于B。它可以是任何点。 - David

@David 上述计算可能会给出一个非旋转矩阵，因为M的行列式可能为-1。如果发生这种情况，则需要交换P的列。 - jodag

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可以查看英文原文，
原文链接

- jodag · Accepted Answer

第一个问题的答案是据我所知，MATLAB没有内置函数用于构造n维旋转矩阵。然而，在下面的论文中描述了一种有趣的方法：Aguilera, Antonio和Ricardo Pérez-Aguila. "General n-dimensional rotations." (2004).。基本上，给定一组基向量，他们通过计算一系列旋转来使子空间的基向量与标准基前n-2个轴张成的子空间对齐，然后应用所需的旋转并撤销标准基准备旋转以获得最终的旋转矩阵。我实现了论文中描述的伪代码，稍微修改了一下，去掉了可选的平移分量和齐次坐标（不确定为什么这会成为旋转矩阵的一部分！）。我还将其更改为构造一个预乘旋转矩阵，而不是后乘矩阵。即我们使用y = R * x旋转列向量x。这与3维旋转的vrrotvec2mat使用的约定相匹配。

子空间的基是由v给出的，它是一个n乘n-2的矩阵。
绕子空间旋转的角度以弧度表示，为theta。

% Implementation of the Aguilera-Perez Algorithm.
% Aguilera, Antonio, and Ricardo Pérez-Aguila. "General n-dimensional rotations." (2004).
function M = rotmnd(v,theta)
    n = size(v,1);
    M = eye(n);
    for c = 1:(n-2)
        for r = n:-1:(c+1)
            t = atan2(v(r,c),v(r-1,c));
            R = eye(n);
            R([r r-1],[r r-1]) = [cos(t) -sin(t); sin(t) cos(t)];
            v = R*v;
            M = R*M;
        end
    end
    R = eye(n);
    R([n-1 n],[n-1 n]) = [cos(theta) -sin(theta); sin(theta) cos(theta)];
    M = M\R*M;

我不确定这完全回答了你的问题，因为我相信有两个方向可以绕子空间旋转（或者可能更多？我甚至不知道如何思考高维空间中的旋转）。在你的问题中，基向量的方向描述了旋转方向并不清晰。

几乎肯定有一种优雅的方法来确定要使用哪个符号用于theta，但我认为您可以使用theta和-theta计算旋转矩阵，然后确定正确的旋转点。

使用示例

等价于vrrotvec2mat函数

>> R1 = rotmnd([1; 2; 3], pi/4)
R1 =
    0.7280   -0.5251    0.4407
    0.6088    0.7908   -0.0635
   -0.3152    0.3145    0.8954

>> R2 = vrrotvec2mat([1; 2; 3; pi/4])
R2 =
    0.7280   -0.5251    0.4407
    0.6088    0.7908   -0.0635
   -0.3152    0.3145    0.8954

4-d 旋转

>> v = [1 0;
        0 1;
        1 0;
        0 1];
>> R = rotmnd(v, pi/4)
R =
    0.8536   -0.3536    0.1464    0.3536
    0.3536    0.8536   -0.3536    0.1464
    0.1464    0.3536    0.8536   -0.3536
   -0.3536    0.1464    0.3536    0.8536

>> x = [0; 0; 0; 1];
>> y = R*x
y =
    0.3536
    0.1464
   -0.3536
    0.8536

有趣的注记 从论文中可以看出，主旋转矩阵的定义存在错误（它被转置了）。通过比较等式2中的旋转矩阵（即R_{1,2}）和转置后的一般主轴旋转矩阵的定义，可以观察到这个错误。这个错误在实现算法时导致了一些“有趣”的问题。

P.S. 一个非常相似的方法，可能会提供一些启示，可以在以下文献中找到：

Hanson, Andrew J. "4 Rotations for N-Dimensional Graphics." Graphics Gems V. 1995. 55-64.

我还没有仔细阅读这篇文章，但我可能会稍后回来阅读并学习一些东西。