如何检查和处理非常接近零的数字

Question

我在C++中进行一些数学计算，看起来会生成一些非常接近于零的小数（我怀疑三角函数调用可能是我的真正问题），但我希望能够检测这些情况，以便更详细地研究它们。

我目前正在尝试以下内容，它正确吗？

if ( std::abs(x) < DBL_MIN ) {
     log_debug("detected small num, %Le, %Le", x, y);
}

其次，数学的性质是三角函数（即使用大量弧度/度数转换和 sin/cos/tan 函数等），那么我可以采取什么样的变换来避免数学错误？

显然，对于乘法，我可以使用对数变换 - 还有其他哪些方法吗？

- Petriborg

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我们能否请看一下这种数学的例子，以便我们可以设计出优雅的东西？我脑海中想到的是像 cos x - 1 这样的东西，当你在零附近得到缓慢变化的结果时，必须仔细选择公差。 - Alexandre C.

关于避免下溢的转换，最直接的方法是对表达式进行泰勒展开，并使用小参数的结果。例如，对于小于某个截止值的x，可以使用x*x/2代替1-cos(x)。 - ev-br

Answer 1

与普遍认为的相反，DBL_MIN 不是最小的正 double 值，而是最小的正规化 double 值。通常情况下 - 对于 64 位 ieee754 doubles - 它是 2^-1022，而最小的正 double 值是 2^-1074。因此，

我目前正在尝试以下内容，是否正确？

if ( std::abs(x) < DBL_MIN ) {
     log_debug("detected small num, %Le, %Le", x, y);
}

可能会有一个肯定的答案。该条件检查x是否为非规范化（也称为次标准）数字或±0.0。如果不了解您特定情况的更多信息，我无法确定该测试是否合适。非规范化数字可以是计算结果的合法结果，也可以是四舍五入的结果，正确的结果应该是0。当数学上正确的结果为0时，舍入也可能产生比DBL_MIN大得多的数字，因此更大的阈值可能是明智的。

- Daniel Fischer

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感谢您对此的输入-问题仍在继续，但我还没有时间回去处理它。我可能会尝试在某个时候发布一个更明智的问题。 - Petriborg

Answer 2

由于您正在使用C ++，最惯用的方法是使用标头<limits>中的std :: numeric_limits。

例如：

template <typename T>
bool is_close_to_zero(T x)
{
    return std::abs(x) < std::numeric_limits<T>::epsilon();
}

实际容忍度在很大程度上取决于您的问题。请提供具体的用例，以便我可以增强我的答案。

此外，还有std::numeric_limits<T>::min()和std::numeric_limits<T>::denorm_min()可能会有用。第一个是类型T的最小正非规范化值（等于<cfloat>中的FLT / DBL / LDBL_MIN），第二个是类型T的最小正数值（没有<cfloat>等效项）。

[如果您对浮点数表示不太熟悉，您可能会发现此文档很有用。]

- Alexandre C.

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可能在今天晚些时候，等我找出方程中哪一部分引起了问题后再处理。感谢提供 C++ 的小技巧！ - Petriborg

DBL_MIN是最小的正规化double值，因此它对应于min()而不是denorm_min()。 - Daniel Fischer

Answer 3

如果 x 是一个双精度数，那么这种方法的一个问题是你无法区分 x 是否真正为零，或者是否为一个比 DBL_MIN 小的正值。因此，如果你知道 x 绝不会真正为零，并且想要查看下溢时的情况，那么这种方法就可行。

你也可以尝试捕获 SIGFPE 信号，在符合 POSIX 标准的系统上，任何时候都会发生包括浮点数下溢在内的数学错误。参见：http://en.wikipedia.org/wiki/SIGFPE 编辑：需要明确的是，DBL_MIN 不是双精度数可以容纳的最大负值，而是双精度数可以容纳的最小正值。因此，只要该值不为零，你的方法就是可行的。

另一个有用的常量是DBL_EPSILON，它是可以添加到1.0而不会得到1.0的最小双精度值。请注意，这个值比DBL_MIN大得多。但是如果你正在进行可能趋向于1而不是趋向于0的三角函数运算，它可能对你有用。

- BishopRook

Answer 4

第一个if检查只有在你的值为零时才会为真。

对于你的第二个问题，你暗示了很多转换。相反，选择一个单位（度或弧度），并在该单位上进行所有的计算操作。然后在最后如果需要的话，进行一次单独的转换到另一个值。

- Mark B

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DBL_MIN是最小的正规化双精度浮点数，虽然还有更小的正数double。 - Daniel Fischer