floor()和ceil()的可表示结果

Question

对于浮点类型（float/double/long double）的任意值“v”，C89是否保证floor(v)和ceil(v)的数学精确整数结果是“v”类型的可表示值？

任何后来的C或C++标准是否保证了这一点？

IEEE 754是否保证了这一点？

- Kristian Spangsege

Answer 1

这是通过IEEE-754数字的构建来保证的。（要明确一点：C语言不能保证IEEE-754，但下面的分析同样适用于我熟悉的所有其他浮点格式；关键属性是该格式中所有足够大的数字都是整数）。

回想一下，一个正常的IEEE-754数字具有形式±1.xxx...xxx * 2^n，其中有效数字字段（xxx...xxx部分）的宽度由数字类型定义（单精度为23个二进制数字，双精度为52个二进制数字）。在允许范围内的所有指数n的这样的数字都是可表示的。

假设不失一般性，v是正数（如果v是负数，我们可以在下面的分析中交换ceil和floor）。

令v有k个有效位，并将v写为二进制定点数；有三种可能情况：

情况1：所有有效数字都是整数。当我们写出v时，它看起来像这样：

xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx000000...00000.0

情况1：所有有效数字位都是整数。此时v为整数，因此ceil(v) = floor(v) = v，因此两者均容易表示。

情况2：所有有效数字位都是小数。当我们写出v时，它看起来像：

0.000000...00000xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

如果v的值在[0,1)范围内，那么floor(v)=0是可以表示的，而ceil(v)要么是零，要么是一，这两个值都可以表示。

情况3：v同时包含整数和小数位：

xxxxxxxxxxxxxx.xxxxxxxxxx

那么floor(v)就是：

xxxxxxxxxxxxxx.

因为我们丢弃了至少一个小数位，所以 floor(v) 最多具有 k-1 个有效位，并且与 v 具有相同的指数，因此它是可表示的。

如果 v 是整数，则 ceil(v) = floor(v) = v，因此 ceil(v) 是可表示的。否则，ceil(v) = floor(v) + 1，因此最多具有 k-1 个有效位，并且也是可表示的。

- Stephen Canon

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这个问题涉及到IEEE 754，但C标准可能会更加松散。它是否允许某种情况，例如99.9999（或0xff.ffff或二进制11.1111）是最大的可表示有限数字，因此其上取整值虽然是一个具有较少有效数字的整数，但却无法表示？ - Eric Postpischil

@EricPostpischil：是的，C标准允许这样的类型。话虽如此，所有常见的替代浮点数格式（甚至像旧IBM或UNIVAC这样的稍微奇特的格式）都具有这样的属性，即所有足够大的数字都是整数。 - Stephen Canon

我怀疑对于C语言，即使在非IEEE实现中，floor()和ceil()也保证返回整数值（这是真的吗？）然而，floor()可能会返回比真实整数结果小的整数值，ceil()可能会返回比真实整数结果大的整数值。 - Kristian Spangsege