如何确定四个点是否在同一平面上

Question

如何确定四个点是否在同一平面上

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我从Kinect输出的图像中选择了4个点，每个点都有它的 (x, y, z) 坐标。

我的目标是确定这4个点是否在同一个平面上。

这是我的函数：

    public bool isValidPlane()
    {
        for (int i = 0; i < edgesPoints.Length; i++)
        {
            double absPlaneEquation = Math.Abs(distance -
                (normal.X * edgesPoints[i].X + normal.Y * edgesPoints[i].Y + normal.Z * edgesPoints[i].Z));
            if (absPlaneEquation > 1500) /* 1500 is a tolerance error*/
            {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }

normal也是平面的法向量（通过平面上两个向量的叉积计算得出，这两个向量是由所选的四个点中任意选三个点计算得出的），并已被归一化：

    private void calcPlaneNormalVector()
    {
        if (lastEdgeNumber < 3)
        {
            return;
        }
        Vector3D vec1 = new Vector3D(edgesPoints[0], edgesPoints[1]);
        Vector3D vec2 = new Vector3D(edgesPoints[0], edgesPoints[2]);
        vec2 = vec1.crossProduct(vec2);
        double lengthNormal = Math.Sqrt(Math.Pow(vec2.X, 2) + Math.Pow(vec2.Y, 2) + Math.Pow(vec2.Z, 2));
//normalizing:
        normal = new Vector3D((vec2.X / lengthNormal), (vec2.Y / lengthNormal), (vec2.Z / lengthNormal));
        distance = (-1) * (edgesPoints[0].X * normal.X + edgesPoints[0].Y * normal.Y + edgesPoints[0].Z + normal.Z);
    }

Vector3D是一个表示向量的类：

public  class Vector3D
{
    private double x, y, z;

    public Vector3D(Point3D p1, Point3D p2)
    {
        x = p2.X - p1.X;
        y = p2.Y - p1.Y;
        z = p2.Z - p1.Z;
    }
    public Vector3D(double a = 0, double b = 0, double c = 0)
    {
        x = a;
        y = b;
        z = c;
    }

    <get properties for x, y, z >

    public Vector3D crossProduct(Vector3D u)
    {
        double tmpX = 0, tmpY = 0, tmpZ = 0;
        tmpX = y * u.Z - z * u.Y;
        tmpY = z * u.X - x * u.Z;
        tmpZ = x * u.Y - y * u.X;
        return new Vector3D(tmpX, tmpY, tmpZ);
    }
    public double dotProduct(Vector3D u)
    {
        return x * u.X + y * u.Y + z * u.Z;
    }
}

即使选择的4个点不在同一个平面上，我总是得到 1300 <= absPlaneEquation <= 1400。如何最好地检测这4个点是否在同一个平面上？

- ThunderWiring

可能是重复的问题，关于如何检查四个点是否在同一平面上，只使用距离（验证共线性）。请参考此链接：https://dev59.com/pH3aa4cB1Zd3GeqPgKQO - Matt Wilko

@MattWilko，这不是重复的问题。您发布的问题更加理论化，而我在这里更加强调技术实现。此外，使用 Kinect 时存在一定的误差，不像您提到的问题那样理想。 - ThunderWiring

实际上，那个问题已经有一个被接受的解决方案，其中包含一个C++函数来精确计算你所寻求的内容。看起来只需要改变大约三个字符就可以转换成C#。 - Matt Wilko

不确定这是否有帮助，但这里有一篇关于如何做到这一点的文章（更多是从数学角度而非计算机科学角度）：https://www.quora.com/What-is-the-simplest-way-to-determine-if-4-points-lie-on-the-same-plane - EJoshuaS - Stand with Ukraine

1个回答

网页内容由stack overflow 提供, 点击上面的

可以查看英文原文，
原文链接

- InBetween · Accepted Answer

当你拥有一个平面的法向量后，你可以计算该平面的方程:

normal vector components : [A, B, C]
Plane equation           : A·x + B·y + C·z + D = 0;

使用三个点（P1，P2或P3）之一获取法向量来评估D，然后仅需检查第四个点（P4）是否满足方程即可：

 D = - (A·x1 + B·y1 + C·z1)
 A·x4 + B·y4 + C·z4 - (A·x1 + B·y1 + C·z1) = 0

需要注意的是，您正在使用浮点算术，因此无法进行严格的相等性测试。您需要定义一个可接受的误差，并检查第四个点是否符合该公式的容差：

 |A·x4 + B·y4 + C·z4 - (A·x1 + B·y1 + C·z1)| < TOLERANCE

更新：以下是我对你的问题的解决方案的编码：

public struct Point3D
{
    public double X { get; }
    public double Y { get; }
    public double Z { get; }

    public Point3D(double x, double y, double z)
    {
        X = x;
        Y = y;
        Z = z;
    }
}

public struct Vector3D
{
    public double X { get; }
    public double Y { get; }
    public double Z { get; }
    public double Magnitude => Math.Sqrt(X * X + Y * Y + Z * Z);

    public Vector3D(Point3D p1, Point3D p2)
        : this(p2.X - p1.X, p2.Y - p1.Y, p2.Z - p1.Z)
    {
    }

    public Vector3D(double x, double y, double z)
    {
        X = x;
        Y = y;
        Z = z;
    }

    public static Vector3D CrossProduct(Vector3D left, Vector3D right)
    {
        double tmpX = 0, tmpY = 0, tmpZ = 0;
        tmpX = left.Y * right.Z - left.Z * right.Y;
        tmpY = left.Z * right.X - left.X * right.Z;
        tmpZ = left.X * right.Y - left.Y * right.X;
        return new Vector3D(tmpX, tmpY, tmpZ);
    }

    public static double DotProduct(Vector3D left, Vector3D right)
    {
        return left.X * right.X + left.Y * right.Y + left.Z * right.Z;
    }
}

public struct Plane3D
{
    private const double TOLERANCE = 0.001;

    private readonly double independentTerm;
    public Vector3D Normal { get; }

    public Plane3D(Point3D p1, Point3D p2, Point3D p3)
    {
        Normal = Vector3D.crossProduct(new Vector3D(p1, p2), new Vector3D(p1, p3));

        if (Normal.Magnitude < TOLERANCE)
            throw new ArgumentException("Specified points do not define a valid plane.");

        independentTerm = -(Normal.X * p1.X + Normal.Y * p1.Y + Normal.Z * p1.Z);
    }

    public bool Contains(Point3D p) => Math.Abs(Normal.X * p.X + Normal.Y * p.Y + Normal.Z * p.Z + independentTerm) < TOLERANCE;
}

需要注意的事项：

我将Point3D和Vector3D更改为结构体。这在很大程度上取决于你将如何使用这些对象，但是乍一看，值类型似乎更合适。
我使值类型不可变。可变值类型不是一个好主意；同样，如果将它们实现为类，则不会有这个问题，尽管我仍建议尽可能创建不可变类型。在这种情况下，这样做非常便宜。
你有“平面”概念，那么就创建一种表示平面的类型。
我将向量运算符更改为静态方法。这可能是个人品味问题。
我在Plane内部实现了TOLERANCE常量。可能有更好的地方来定义它，但它只是为了方便而存在。
我略微调整了你的命名规则；公共成员应以大写字母开头。